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Politecnico di Milano — Meccanica Razionale — Prova del 4.2.2015 In un piano verticale un’asta, omogenea di lunghezza ℓ e massa m, ha l’estremo A vincolato a scorrere su una guida orizzontale, e l’estremo B incernierato al centro di un disco, omogeneo di raggio R e massa M , che rotola senza strisciare su un asse verticale. Si utilizzi come coordinata libe ra l’angolo θ che l’asta determina con l’asse orizzontale su cui scorre. Statica • Determinare la forza orizzontale F 0 da applicare sul punto A affinch´ e il sistema sia in equilibrio conθ = π 3 . • Calcolare, nelle condizioni di equilibrio appena descritte, il valore della reazione vincolare che l’asse orizzontale esercita sull’asta nel punto A. Dinamica • Determinare il legame tra la velocit` a angolare dell’asta e la velocit` a an golare del disco. • Si supponga che (insieme alla forza F 0 sul punto A calcolata in Statica) si applichi ora sul disco una coppia di momento antiorario C. Determinare come deve dipendere C dall’angolo θ affinch´ e l’asta ruoti con velocit` a angolare costante ω0 = ω 0 k, con ω 0 = √ g ℓ √ 3 . • Calcolare, durante il moto proposto, il valore della reazione vincolar e che l’asse verticale esercita sul disco nel punto dove esso rotola senza strisciare. A B ℓ, m R, M θ C (solo Dinamica) x y O F 0 Domanda di teoria. Centro di istantanea rotazione: definizione, determinazione e pro priet` a. Soluzione Statica. Determiniamo la forza richiesta F 0 = −F0 i utilizzando il Principio dei Lavori Virtuali. Detto G il baricentro dell’asta si ha δL(a) = −M gj · δB − mgj · δG − F0i · δA = ( − M gℓcos θ − 1 2 mgℓ cos θ + F0ℓsin θ ) δθ e, di conseguenza, δL(a) ⏐ ⏐ ⏐ θ= π 3 = 0 ∀δθ =⇒ F0 = ( M + 1 2 m ) g cot π 3 = 1√ 3 ( M + 1 2 m ) g. Determiniamo la reazione vincolare richiesta ΦA = VAj utilizzando la…