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Corso di Statistica - Prof. F abio Zucca Appello 4 - 4 febbraio 2016 Nome e cognome: Matricola: c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale no n autorizzato sar` a perseguito. 8994 Esercizio 1 Tre monete equilibrate vengono lanciate contemporaneamen te. Quelle che mostrano “testa” vengono messe da parte e si continua a lanciare le altre. Il pr ocesso ha termine quando ogni moneta ha mostrato “testa” dopo un lancio. Tutti i lanci sono indipend enti. 1. Calcolare la probabilit` a che nessuna moneta mostri test a al primo lancio. 2. Calcolare la probabilit` a che dopo 5 lanci ci sia ancora al meno una moneta da lanciare. 3. Calcolare la probabilit` a che dopo 5 lanci vi sia esattame nte una sola moneta da lanciare. 4. Sapendo che dopo 5 lanci ho almeno una moneta da lanciare, q uanto vale la probabilit` a che ne sia rimasta esattamente una sola da lanciare? (Giustificare ade guatamente la risposta) 5. Che legge ha il numero di monete rimaste da lanciare dopo 5 l anci? 6. Calcolare la probabilit` a che, lanciando contemporanea mente 100 monete, esca almeno 51 volte testa. 1 Soluzione. Ogni lancio ` e un processo di Bernoulli. Se la probabilit` a che esca testa ` e p (in questo caso p = 1 /2) allora la variabile X che conta i lanci necessari a far uscire testa per la prima vol ta ha legge geometrica di parametro p. Quindi se le monete sono m (in questo caso m = 3) abbiamo una famiglia {Xi}m i=1 di variabili geometriche indipendenti di parametro p. Ricordiamo che P(Xi > n) = (1 − p)n. 1. La probabilit` a che nessuna moneta mostri testa nei primi n lanci ` e P(Xi > n, ∀i = 1 , . . . , m) = (1 − p)mn. In questo caso p = 1/2, n = 1 e m = 3 da cui la probabilit` a 1 /23 = 1/8. 2. La probabilit` a che tutte le monete abbiano mostrato test a entro il lancio n…