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1 SOLUZIONE PROVA SCRITTA DI AUTOMATICA I (BIO A-K) del 4 Luglio 2007 1. Si consideri il seguente sistema dinamico lineare a coefficienti costanti: 11 2 21 32 123 69 41 91 8 xx x u xx xx yxxx =−+⎧ ⎪ =⎪⎨ =⎪ ⎪ =− + −⎩    1.a Si determini la funzione di trasferimento dal segnale di ingresso u(t) al segn ale di uscita y(t) (per condizioni iniziali nulle). 1.b Il sistema è asintoticamente stabile? Perché? 1.c Si determini l’espressione analitica della risposta y(t) in corrispondenza di un ingresso u(t)=imp(t). Più precisamente, si indichino chiaramente tutti i passa ggi da eseguire per ottenere tale espressione e si scelga quale fra le seguenti sia quella corretta: A. 3() 2 () () tyt s c at e r a m pt=− + B. 33() 2 () 2 s i n ( 3) () c o s ( 3) ()tty t sca t e t sca t e t sca t=− − + C. () () 2 () 2 s i n ( 3) () c o s ( 3) ()y t sca t ramp t t sca t t sca t=− + − + D. 33() 2 () 2 () () tty t sca t e sca t e ramp t=− − + Soluzione 1.a Assumendo 123(0) (0) (0) 0xxx === e trasformando membro a memb ro secondo Laplace il sistema dinamico assegnato, si ottiene 11 2 1 1 2 21 2 1 32 3 2 123 1 2 3 6 9 () 6 () 9 () () () () () () 4 19 18 ( ) 4 ( ) 19 ( ) 18 ( ) xx x u s X s X sX s U s xx s X sX s xx s X sX s yxxxY s X sX sX s =−+ = − +⎧⎧ ⎪⎪ ==⎪⎪ ⇒⎨⎨ ==⎪⎪ ⎪⎪ =− + − =− + −⎩⎩    da cui 1 2 21 3 2 1 11 1 2 22 2 2 22 2 2 2 ()() () ()() ()() 6 () 9 () () () 69 11() 4 1 9 1 8 () 69 69 69 41 9 1 1 8 ()69 69 69 41 9 1 8 ()(6 9 ) XsXs s Xs XsXs ss Xs ssX s X s U s X s U s ss s ss sYs Us ss s ss s ss s Usss ss s ss ss Usss s = == =− + ⇒ = −+ ⎛⎞=− + − =⎜⎟ −+ −+ −+⎝⎠ −⎛⎞=+ − =⎜⎟ −+ −+ −+⎝⎠ −+ −= −+ 2 2 41 9 1 8 ()(3 ) ss Usss = −+ −= − Pertanto, la funzione di trasferime nto (f.d.t.) dal segnale di ingresso u(t) al segnale di uscita y(t) è 2 2 () 4 1 9 1 8() : () ( 3 ) Ys s sGs Us ss −+…