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12957 Corso di Statistica - Prof. F abio Zucca II prova in itinere - 4 luglio 2014 Nome e cognome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Matricola: . . . . . . . . . . . . . c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale no n autorizzato sar` a perseguito. Esercizio 1 Arturo Cecato ogni mattina trova qualche difficolt` a ad at- traversare il corridoio che separa la camera dal bagno. Non e ssendo mai ben sveglio, 26 mattine su 30 va a sbattere contro un mobile. D a qualche tempo ha escogitato un rimedio che sta testando: appena alza tosi dal letto infila la testa in un secchio di ghiaccio: da quando ha adottato questa nuova procedura (21 mattine) Arturo ha colpito il mobile in 14 casi . 1. Calcolare un intervallo di confidenza al 90% bilatero per l a probabilit` a p di colpire il mobile una mattina qualsiasi con la nuova proce dura. 2. Valutare se il rimedio di Arturo ` e davvero efficace, ovvero se la proba- bilit` a p di colpire il mobile dopo la cura ` e significativamente infer iore a quella p0 prima della cura, proponendo un test e calcolandone il P-value. 1 Soluzione. Osserviamo che ¯ pn = 14 ≥ 5 e (1 − ¯p)n = 7 ≥ 5 quindi si possono applicare le approssimazioni gaussiane. 1. L’intervallo di confidenza a livello α = 0.9 (si osservi che q0.95 ≈ 1.645) ` e determinato dai suoi estremi p± 1 := p1 ± √ p1(1 − p1)/n · q0.95 = 2/3 ± √ 2/3(1 − 2/3)/21 · q0.95 ≈ 2/3 ± 0.1029 · 1.645 = 0 .666 ± 0.1693 da cui IC (0.9) = [0 .4974, 0.8359]. 2. Il test da studiare ` e per una popolazione: H0 : p ≥ p0, H 1 : p < p 0. Infatti se riusciamo a rifiutare H0 abbiamo dimostrato che la cura ` e evidentemente efficace. I dati p0 = 13/15, n = 21, p = 14/n = 2/3. La statistica test ` e: U := p − p0√ p0(1 − p0)/n e il criterio di rifiuto di H0 ` e u < q α. Il valore…