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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Politecnico di Milano - Ingegneria Energetica Metodi Analitici e Numerici 4 Settembre 2017 Cognome: Nome: Matricola: Esercizio 1. Utilizzndo il metodo di separazione delle variabili, determinare una soluzione u = u(x, t) del problema 8 >>>>>>< >>>>>>: @2 @t2 u(x, t) @2 @x2 u(x, t)+ u(x, t)=0 i n Q =( 0,⇡ ) ⇥ (0, +1 ), u(x, 0) = 0 , @ @t u(x, 0) = 1 + cos(3 x)i n ( 0 ,⇡ ), @ @x u(0,t )= @ @x u(⇡, t)=0 , in (0 , +1 ). Soluzioni Utilizziamo la separazione di variabili. Cerchiamo una soluzione del problema della forma u(x, t)= ↵(t) (x), ove ↵ 2 C2([0, +1 )) e 2 C2([0,⇡ ]), con ↵, 6=0 . Derivando tale funzione e sostituendola nell’equazione, si vede che ↵ e soddisfano le identit` a ↵00(t)+ ↵(t) ↵(t) = 00(x) (x) = 2 R (incognita da determinare) . Considerando l’equazione per , si deduce che essa risolve il problema ai limiti 8 < : 00(x) (x)=0 ,x 2 (0,⇡ ), 0(0) = 0(⇡)=0 il quale ammette soluzioni non banali se, e solo se = n = n2  0 e in questi casi (x)= n(x)= cn cos(nx),x 2 (0,⇡ )( cn costanti incognite da determinare) . Si noti che la soluzione 0(x)= c0, corrispondente all’autovalore n = 0 ` e costante. Per quanto riguarda ↵, essa risolve il problema 8 < : ↵00(t)+( 1+ n2) ↵(t)=0 ,t 2 (0, +1 ), ↵(0) = 0 che ammette come soluzioni ↵(t)= ↵n(t)= dn sin ⇣ t p n2 +1 ⌘ ,n 0,t 2 (0, +1 )( dn costanti incognite da determinare) . Quindi, una generica soluzione del problema ha la forma u(x, t)= +1X n=0 Bn sin ⇣ t p n2 +1 ⌘ cos(nx), (x, t) 2 Q, ove abbiamo posto Bn = cndn. Notiamo subito che @ @t u(x, t)= +1X n=0 Bn p n2 + 1 cos ⇣ t p n2 +1 ⌘ cos(nx), da cui, utilizzando la condizione iniziale su @ @t u(x, 0) (finora non considerata) deduciamo @ @t u(x, 0) = +1X n=0 Bn p n2 + 1 cos(nx) = 1 + cos(3 x). Quindi, per il principio di identit` a delle serie di…