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Preappello di Analisi Matematica 2 04 luglio 2011 1. (Analisi 2 o B) Data la funzione f(x) = ∫ x 0 1− cos t t2 dt (a) determinarne lo sviluppo in serie di McLaurin (b) determinare il raggio di convergenza della serie (c) calcolare f(1) con un errore inferiore a 10−3. 2. (Analisi 2 o C) Si consideri il problema di Cauchy { y′ = (ex− 1)f(y) y(0) = a con f(y) = { 0 se y≤ 0 yb se y > 0 . (a) Per quali valori di b > 0 si applica il teorema di esistenza e unicit` a in piccolo? In grande? (b) Esistono valori di a > 0 e b > 0 tali che la soluzione ammette un asintoto verticale? Orizzontale? Obliquo? (c) Sia b = 1 2. Per quali valori di a∈ R il limite per x→ +∞ della soluzione ` e finito? (d) Tracciare il grafico qualitativo delle soluzioni per a =−1, 0, 1 e b = 2. 3. (Analisi 2 o B) Enunciare il teorema di Schwarz e spiegare perch´ e ` e rilevante nel calcolo del differenziale secondo. 4. (Analisi 2 o C) Definire la stabilit` a asintotica di un punto di equilibrio.