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Politecnico di Milano Analisi Matematica II – 5 maggio 2015 Ing. Chimica e Ing. dei Materiali Prima prova in itinere – 1a P AR TE Cognome: Nome: c⃝ I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sarà perseguito a termini di legge dal titolare del diritto • Ogni risposta va scritta nello spazio sotto il quesito e deve sempre essere motivata con calcoli o/e spiegazioni. • Nel caso sia necessario spazio per riscrivere o completare lo svolgimento di un quesito, è possibile utilizzare la facciata bianca sul retro di questo foglio, ma non altri fogli. 1. Scrivere il gradiente della funzione f (x, y ) = x cos( xy ) in P (1 , 2π). 2. Data la funzione f (x, y ) = x cos( xy ) dell’esercizio precedente, determinare l’equazione della retta tangente alla linea di livello di f passante per P (1 , 2π). 3. Stabilire la natura dei punti stazionari di f (x, y ) = π− x4 + y6. 4. Determinare l’integrale generale dell’equazione y′′− 2y′ + 5 y = 0 . 5. Determinare l’integrale generale dell’equazione y′− 2ty = 0 . 6. Stabilire se la curva r(t) = e− ti + log(1 + e− t2 )j, con t∈ R, è regolare. 7. Determinare al variare di α > 0 il carattere dell’integrale: ∫ +∞ 0 1 (x2 + 1) α dx . 8. Scrivere il polinomio di Taylor di secondo grado della funzione f (x, y ) = xe y nell’origine. 9. Stabilire se converge l’integrale ∫ 3 0 dx 5 √ x4(3 − x) . 10. Determinare massimo e minimo assoluto della funzione f (x, y ) = e(x2+y2) nel quadrato Q ={(x, y ) : 0 ≤ x, y ≤ 1}. Politecnico di Milano Analisi Matematica II – 5 maggio 2015 Ing. Chimica e Ing. dei Materiali Prima prova in itinere – 2a P AR TE – foglio 1 Cognome: Nome: c⃝ I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono…