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Corso di Statistica - Prof. F abio Zucca IV Appello - 5 febbraio 2015 Nome e cognome: Matricola: c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale no n autorizzato sar` a perseguito. 8994 Esercizio 1 Si consideri il circuito in figura che consiste in due deviato ri che assumono indipendentemente le due posizioni I e O. Il primo deviatore assume la posizione I con probabilit` a p mentre il secondo assume la posizione I con probabilit` a q ̸= 1/2. Sia X la variabile che controlla lo stato della lampadina (1=“accesa” e 0=“spenta”). 1. Descrivere la legge di X. 2. Calcolare, in funzione di p e q il valore atteso E[X] di X. 3. `E possibile ricavare p in funzione di q ed E[X]? In caso affermativo scrivere l’espressione. 4. Si inizializzi il circuito n volte e supponiamo che le posizioni dei due deviatori in tutt i questi n esperimenti siano indipendenti. Siano {Xi}n i=1 gli stati della lampadina. Esibire uno stimatore non distorto per E[X]. 5. Nelle ipotesi del punto precedente e supponendo che q sia noto, esibire uno stimatore non distorto per p (funzione della famiglia {Xi}n i=1). Giustificare la risposta. 1 Soluzione. Siano P e Q le posizioni dei due deviatori e si osservi che la lampadina ` e accesa se e solo se P = Q. 1. X assume solo due valori con probabilit` a P(P = Q) e P(P ̸= Q) = 1 − P(P = Q). Associando 1 allo stato “lampadina accesa” e 0 allo stato “lampadina spenta” l a variabile X diviene una variabile di Bernoulli di parametro P(P = Q). Utilizzando la formula delle probabilit` a totali e l’ind ipendenza di P e Q otteniamo P(P = Q) = P(P = Q = I) + P(P = Q = O) = pq + (1 − p)(1 − q) = 2pq + 1 − p − q = p(2q − 1) + 1 − q. Formalmente si pu` o scrivere X = 1 l{P =Q}. 2. Il valore atteso E(X) coincide con il parametro della legge di Bernoulli p(2q −…