05 05 14

Pagina 1

8994 Corso di Statistica - Prof. F abio Zucca I prova in itinere - 5 maggio 2014 Nome e cognome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Matricola: . . . . . . . . . . . . . c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale no n autorizzato sar` a perseguito. Esercizio 1 Tre monete vengono messe in fila su un tavolo: due di esse sono equilibrate, mentre per la rimanente la probabilit` a che es ca testa ` e 2 /3. La posizione della moneta non equilibrata nella fila ` e casuale e tutte le possibili posizioni sono equiprobabili. Una volta messe in fila vengon o prese una ad una e lanciate in maniera indipendente. Si osserva la sequen za ( T, T, C ). 1. Qual ` e la probabilit` a che si osservi la sequenza uscita d ato che la moneta non equilibrata ` e la prima della fila? E se fosse la sec onda della fila? Oppure la terza? 2. Qual ` e la probabilit` a che che la moneta non equilibrata s ia la prima della fila sapendo che si osserva la sequenza ( T, T, C )? Analogamente qual ` e la probabilit` a che che la moneta non equilibrata sia la seconda data la sequenza osservata? E la terza? 3. Se doveste scommettere sulla posizione di una moneta equi librata, quale posizione scegliereste? Con che probabilit` a avrest e ragione? Giustificare la risposta. 1 Soluzione. Chiamiamo per semplicit` a p la probabilit` a che esca testa per la moneta non equilibrata, in questo caso p = 2/3. Poich` e le due monete equi- librate sono intercambiabili in questo problema, quello ch e interessa ` e la sola posizione della moneta non equilibrata nella fila; sia essa X. Chiaramente P(X = i) = 1 /3 per ogni i = 1 , 2, 3. Chiamiamo Y la sequenza casuale dei lanci dove Y = (Y1, Y2, Y3). 1. Dobbiamo calcolare P(Y = (T, T, C )|X = i) ≡ P(Y1 = T |X = i)P(Y2 = T |X = i)P(Y3 = C|X = i)…