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5 Luglio 2003 – seconda prova 1. Sia dato un sistema dinamico con funz ione di trasferimento , i cui d iagrammi di Bode, del modulo e della fase, sono di seguito rappresentati: )(sG B ode D i a g ra m Freq uen cy (ra d /sec ) Phase (deg) Magnitude (dB) -2 0 0 20 40 60 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 -9 0 -4 5 0 45 90 1.1 Identificare l’espressione di , a partire dai diagrammi assegnati. )(sG Dal diagramma di Bode del modulo della funzione di trasferimento , si deduce che il sistema non ha poli né zeri nell’origine (penden za iniziale nulla) e che ha guadagno di m odulo 100 (infat ti, il valore iniziale del m odulo è 40dB), uno zero con )(sG 0.03 / sradω = (salita d i ), un polo con 20 /dB decade 0.3 /rad sω = (la pendenza ritorna nulla) e un polo con 0.7 /rad sω = (discesa di 20 ). /dB decade Grazie al diagramma delle fasi, poi, si deduce che sia lo zero sia i poli sono nega tivi (la fase aum enta di 90° nel caso dello zero e dim inuisce di 90° in corri spondenza di ciascun polo) e che il guadagno (visto che la fase iniziale è nulla) è positivo (e quindi vale 100). Complessivamente, dunque, si ha che 1 0.03() 100 11 0.3 0.7 s Gs ss + = ⎛⎞ ⎛++⎜⎟ ⎜⎝⎠ ⎝ ⎞⎟⎠ . 1.2 Determinare il valore del guadagno del sistema. Disegnare gli zeri ed i poli nel piano complesso. Il guadagno del sistema è 100 (fase iniziale 0°, modulo 40dB con pendenza nulla). Mappa dei poli e degli zeri: 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Re Im 2. Il sistema dell’esercizio precedente viene chiu so in retroazione come indicato nella so ttostante figura: e(t) d(t) + + - + G(s) y0(t) y(t) 2.1 Verificare che il sistema retroazionato è asintoticamente stabile. La funzione d’anello di questo sistem a, retroazionato negativam ente, è () ( )L sG s= . Si può usare i l…