05 Funzioni di trasferimento

Pagina 1

Funzione di trasferimento Parole chiave:Funzione di trasferimento; poli e zeri; autovalori nascosti; grado relativo; poli e zeri dominanti; teorema del valore iniziale e finale, teorema della risposta in frequenza; zeri dominanti e sovraelongazioni; zeri instabili e risposta inversa; poli dominanti complessi e oscillazioni Definizione di funzione di trasferimento Perche’zeri? Possiamo scrivere la trasformata dell’uscita (forzata piu’ libera) di un sistema come Y(s)=N(s) D(s)U(s)+L(s), doveN De’ la funzione di trasferimento, Ul’ingresso, eLla trasformata del mo- vimento libero dell’uscita. Il polinomio D(s), che e’ il poliniomio caratteristico a meno di semplificazioni, e’ com- posto da un binomios+aper ogni modoe atdel sistema. Allo stesso modo, il poliniomioL(s)e’ composto da un binomioc s+aper ogni termine ce atche appare nel movimento libe- ro dell’uscita, quindi per condizioni iniziali opportune il denominato- re diL(s)puo’ avere per radici una qualsiasi combinazioni delle radici di D(s), e in particolare possiamo avere L(s)= 1 D(s). Cerchiamo ora se esistono ingressi non identicamente nulli che danno luogo a uscita identicamente nulla, risolvendoN(s) D(s)U(s)+L(s)=0. PrendiamoU(s)= 1 N(s)eL(s)= 1 D(s). Otteniamo N(s) D(s)U(s)+L(s)= 1 D(s) 1 D(s)=0. Quindi, dato un qualsiasi polinomio N(s), per opportune condizioni iniziali l’uscita corrispondente a ingresso U(s)= 1 N(s)e’ identicamente nulla. Gli zeri sono le radici del denominatore di questoU(s), dunque descrivono le sue componenti esponenziali o sinusoidali. Abbiamo visto negli esercizi del capitolo precedente che, nel dominio di Laplace, la relazione tra ingresso e uscita di un sistema lineare con condizioni iniziali nulle e’ Y= ⇣ C(Is A) 1B+D ⌘ U. Riprendiamo la definizione vista nel precedente capitolo. ⌅…