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Analisi Matematica I e Geometria II prova in itinere 2014/2015 Docenti: E. Beretta, M. Boella, M. Citterio, R. Notari 6 febbraio 2015 Parte A 1. Enunciare e dimostrare il Criterio del Rapporto per le serie numerich e. Svolgimento. Vedi testo e appunti. 2. Enunciare il Teorema della Media Integrale e mostrare con un esempio che l’ipotesi di continuit` a non pu` o essere omessa. Svolgimento. Vedi testo e appunti per l’enunciato. La funzione f : [1 , 3] → R definita da f (x) = { 1, x ∈ [1, 2] 3, x ∈ (2, 3] ` e integrabile, anche se non continua. La media integrale di f su [1, 3] ` e 1 3 − 1 ∫ 3 1 f (x) dx = 2 , ma non esiste alcun punto c ∈ [1, 3] tale che f (c) = 2 . 3. Dopo aver scritto la formula di Taylor di ordine n centrata in x0 con resto secondo Peano di una funzione f , si consideri la funzione g(x) = x sin ( x2) . a) Scrivere lo sviluppo di Taylor di g dell’ottavo ordine centrato in x0 = 0 con resto secondo Peano. b) Tracciare un grafico qualitativo della funzione g in un intorno di x0 = 0 . c) Calcolare g(7)(0) , la derivata settima di g valutata in x = 0 . Svolgimento. Vedi testo e appunti per la formula di Taylor. a) Ricordando lo sviluppo di MacLaurin della funzione sin , abbiamo g(x) = x sin ( x2) = x ( x2 − x6 3! + o ( x9) ) = x3 − x7 3! + o ( x10) . Quindi lo sviluppo richiesto ` e g(x) = x3 − x7 3! + o ( x8) . b) Poich´ e g(x) = x3 + o ( x3) ∼ x3 , abbiamo il seguente grafico: y x c) Nello sviluppo di MacLaurin di una funzione f , il termine di settimo grado ` e f (7)(0) 7! x7 . Da quanto calcolato sopra, per l’unicit` a dello sviluppo, abbiamo g(7)(0) 7! = − 1 3! , quindi g(7)(0) = − 7! 3! = − 7 ·6 ·5 ·4 = − 840 . 1 Parte B 1. Studiare e tracciare un grafico qualitativo della funzione reale di var iabile reale f (x) = arctan 3√ x 1 + x . Si richiede di…