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Fondamenti di Automatica (Prof. Bascetta) Prima prova scritta intermedia Anno accademico 2013/2014 6 Maggio 2014 Soluzioni Esercizio 1 1.1 Il sistema è descritto dalle matrici:  01 0 1,1 2           C BA La matrice di raggiungibilità del sistema è:         RR KABBK det0 21 Il sistema è quindi completamente raggiungibile se e solo se . 1.2 La matrice di osservabilità è:         O TTT O KCACK det0 21 Il sistema è quindi completamente osservabile se e solo se . 1.3 Il polinomio caratteristico della matrice A è:    222 23121 2   AI Trattandosi di un polinomio di secondo grado, esso ha entr ambe le radici a parte reale negativa se e solo se tutti i coefficienti sono concordi, il che avviene per 22  . 1.4 La funzione di trasferimento del sistema si ottiene trasformando secondo Laplace, per  = 0, le singole equazioni:    2 1 2 1 2 1 1 22 11        ssU sYsGUsX XY XsX UXsX La funzione di trasferimento ha denominatore di grado 1 pe rché corrisponde alla sola parte raggiungibile e osservabile del sistema. L’autovalore in 2 è coerente con il fatto che il sistema è asintoticamente stabile. Esercizio 2 2.1 Dalla pendenza iniziale (+2) del diagramma si deduce che il sistema ha due zeri nell’origine (tipo 2). Dal modulo alla pulsazione 1 si deduce che il guadagno vale 100. Alla pulsazione 1 la pendenza passa da +2 a 2, per cui vi sono 4 poli. Un’espressione della funzione di trasferimento compatibile con il diagramma è quindi:   4 2 1 100 s ssG   2.2 Il diagramma asintotico della fase si ricava facilmente: 10 -1 10 0 10 1 -225 -180 -135 -90 -45 0 45 90 135 180 225 gradi w (rad/s) 2.3 Anzitutto il sistema è asintoticamente stabile per cui si può calcolare…