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Politecnico di Milano - Ingegneria Biomedica Analisi Matematica 1 e Geometria 6-7-2017 Esercizio 1. a. Discutere al variare di α∈ R la continuit` a della funzione f(x) =    e−x2/2− cosx xα x̸= 0 0 x = 0 in x = 0. b. Calcolare il seguente limite d successione lim n→+∞ 3n− 2n 2n arctan ( 1 n! ) Soluzioni a. Utilizzando lo sviluppo di Mac-Laurin della funzioni esponenziale e coseno: lim x→0 e−x2/2− cosx xα = lim x→0 1− x2 2 + x4 8 − 1 + x2 2 − x4 24 +o(x5) xα = lim x→0 1 12x4−α→    0 se α< 4, 1 12 se α = 4, ∞ se α> 4. b. Osserviamo subito che per n→ +∞ sono valide le seguenti relazioni di asintoticit´ a 3n− 2n∼ 3n e arctan ( 1 n! ) ∼ 1 n!, dalle quali deduciamo lim n→+∞ 3n− 2n 2n arctan ( 1 n! ) = lim n→+∞ (3 2 )n n! = 0. Esercizio 2. Studiare la funzione f(x) = √ x2− 5x− 6 |x| . Dominio di f: D(f) = (−∞,−1]∪ [6, +∞). Segno di f: f(x) = 0 se, e solo se x =−1 e x = 6; f(x)> 0 ovunque altrove nel dominio. Limiti agli estremi: limx→−∞f(x) = limx→+∞f(x) = 1. Eventuali asintoti: la retta y = 1 ´ e asintoto orizzontale destro e sinistro perf. Derivata prima (formula e dominio) : f′(x) =    5x + 12 2 √ x2− 5x− 6 , x> 6, − 5x + 12 2 √ x2− 5x− 6 , x< −1, sul dominio D(f′) = (−∞,−1)∪ (6, +∞). Discutere la derivabilit` a dif: poich´ e lim x→−1− f′(x) =−∞ e lim x→6+ f(x) = +∞, concludiamo che f non ´ e derivabile nei puntix =−1 e x = 6 (punti di natura cuspidale). Studio del segno di f (max/min): f′(x)    > 0 ⇐⇒ x< − 5 12 e x> 6 (compatibilmente con il dominio) , = 0 ⇐⇒ x =− 5 12, < 0 ⇐⇒ −5 12 <x< −1 (compatibilmente con il dominio) , ⇒ il punto x =− 5 12 ´ e massimo (assoluto) perf; inoltre x =−1 e x = 6 sono minimi assoluti per f. Grafico di f: Esercizio 3. a. Studiare, al variare di a> 0 la convergenza dell’integrale improprio ∫ +∞ 0 ax ex +e−xdx. b.…