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1 SOLUZIONI PROVA SCRITTA DI AUTOMATICA I (Prof. Bittanti, BIO A-K) 6 Settembre 2007 1. Si consideri il seguente sistema dinamico lineare a coefficienti costanti a tempo continuo: con 2 2() 25 sGs ss −= −+ . 1.a Di quale o quali, tra i sistemi A, B, C sotto riportati, G(s) è la funzione di trasferimento, per opportune condizioni iniziali nulle? Si giustifichi la risposta. A. 11 2 3 21 32 12 3 35 2 x xx x u xx xx yx x x =− − +⎧ ⎪ =⎪⎨ =⎪ ⎪ =−−⎩    B. 11 2 21 12 25 2 x xx u xx yx x =−+⎧ ⎪ =⎨ ⎪ =−⎩   C. 252yu y y u+ =− + −   1.b Si consideri, come ingresso al sistema, () c o s ( 2) ()ut ts c at= . Si determini l’espressione analitica della corrispondente uscita ()yt . Soluzione 1.a G(s) è la funzione di trasferimento sia del sistema A sia del sistema B, mentre non lo è del sistema C. - Considerando il sistema dinamico A e trasforma ndo membro a membro secondo Laplace, si ha, per 123(0) (0) (0) 0xxx === , che 11 2 3 1 1 2 3 21 2 1 32 3 2 12 3 1 2 3 3 5 () () 3 () 5 () () () () () () 2( ) ( ) ( ) 2 ( ) x xx x u s X s X s X s X s U s xx s X sX s xx s X sX s yx x x Y s X s X s X s =− − + = − − +⎧⎧ ⎪⎪ ==⎪⎪ ⇒⎨⎨ ==⎪⎪ ⎪⎪ =−− = − −⎩⎩    da cui 11 1 1 1 2 2 21 32 1 2 11 1 1 22 11 ( )() () 3 () 5 () () () 351 1() () 11() () () 11 1 1() () () 2 () () 1 2 () UssX s X s X s X s U s X sss s ss Xs Xs s Xs Xs Xsss Y s Xs Xs Xs Y s Xsss s s ⎧ =− − + ⇒=⎪ −+ +⎪ ⎪ ⎪ =⎪⎨ ⎪ ==⎪ ⎪ ⎪ ⎛⎞=− − ⇒ = − − ⎜⎟⎪ ⎝⎠⎩ e quindi 2 23 2 2 2 2 11 ( ) 2 ( 1 ) ( 2 )() 1 2 () () 35 35 (1 ) ( 25 )1 2 () () ()25 Us s s s sYs Us Us ss s ss s s ss ss s Us Gs Usss −− + −⎛⎞=− − = = =⎜⎟ −++ + −+⎝⎠ −+ + −=≡ −+ perciò la funzione di trasferimento del sistema A è G(s). ()ut ()Gs )(ty 2 - Considerando poi il sistema dinamico B e trasform ando membro a membro secondo Laplace, si ha, per 12(0) (0) 0xx == , che 11 2 1…