06 Equazioni di Lagrange 1

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Meccanica Aerospaziale Esercitazione Attiva sulle Equazioni di Lagrange (1) Esercizio 1 Il sistema riportato in Figura 1, posto in un piano verticale, ` e costituito da due dischi, di raggio 2R edR che rotolano senza strisciare su una guida orizzontale. I dischi sono collegati fra loro attraverso un’asta priva di massa, incernierata nei centri dei due dischi, ed inclinata di un angolo α rispetto all’orizzontale. L’estremit` a superiore del disco di raggio 2 R ` e collegata alla parete verticale attraverso una molla di costante elastica k. Determinare: 1. i legami cinematici tra la coordinata x rappresentativa dell’elongazione della molla, θ e φ; 2. scrivere la funzione di Lagrange del sistema rispetto alla coordinata libera x; 3. determinare il moto del sistema con condizioni iniziali x (0) = 4R e ˙x (0) = 0; 4. calcolare la reazione vincolare verticale che la guida esercita sul disco di centro B. P x k Q A H K B m, 2R m,R θ φα x y Figura 1: Sistema dell’esercizio 1 1 Esercizio 2 Il sistema in Figura 2 ` e posto in un piano verticale. Un disco di massa M e raggio R rotola senza strisciare lungo una guida orizzontale; l’asta AC, di massa m e lunghezza L, ` e incernierata inC al centro del disco, mentre ` e vincolata con un carrello inA a una guida verticale. Una forza esterna F (t), orizzontale, agisce sul disco in C. Utilizzando le equazioni di Lagrange in forma non conservativa, determinare la forza F (t) tale che l’asta ruoti con velocit` a angolare costante. Figura 2: Sistema dell’esercizio 2 2 Soluzioni Esercizio 1 Punto 1. Il sistema in esame ` e un sistema ad un grado di libert` a. Le velocit` a nei centri dei due dischi possono essere espresse come: vA =−2R ˙θ i, vB =−R ˙φ i (1.1) Poich´ e l’asta di collegamento tra i due dischi ha velocit` a angolare nulla, si…