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Analisi Matematica II - 06 settembre 2013 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Domanda 1 . Sia A⊂ R3 un insieme aperto e F :A→ R3 un campo vettoriale C1. (a) Definire il potenziale scalare. (b) Scrivere una condizione necessaria per l’esistenza del potenziale scalare. Domanda 2 Definire una superficie regolare in R3. Domanda 3 Data una curva r : [a,b ]→ R3, definire l’ascissa curvilinea. Analisi Matematica II - 06 settembre 2013 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. 1. Si trovino i punti stazionari della funzione f(x,y ) =x−y vincolata alla regione A ={(x,y )∈ R2 : arctan(x2 +y2− 2) = 2−x +y}. Soluzione. L(x,y,λ ) =x−y +λ(arctan(x2 +y2− 2)− 2 +x−y), Lx(x,y,λ ) = 1 + 2λx 1 + (x2 +y2− 2)2 +λ Ly(x,y,λ ) =−1 + 2λy 1 + (x2 +y2− 2)2−λ, Da Lx(x,y,λ ) = 0 si ottiene 1 + λ =− 2λx 1+(x2+y2−2)2 , mentre da Ly(x,y,λ ) = 0 si ottiene 1 +λ = 2λy 1+(x2+y2−2)2 , quindi x =−y. Inserendo x =−y nell’equazione Lλ(x,y,λ ) = 0 si ottiene arctan(2y2− 2) = 2 + 2y che ha come unica soluzione y =−1 (si confronti il grafico di g1(y) = arctan(2y2− 2) con il grafico di g2(y) = 2 + 2y). Quindi l’unico punto stazionario ` e (1,−1). 2. Determinare la stabilit` a dell’origine per il sistema di equazioni differenziali { x′ = 5 2x2 + 2y2 y′ =x +y2. Soluzione. Poich´ ex′ > 0 in qualsiasi punto dello spazio delle fasi, tranne l’origine, tutte le traiettorie del sistema (tranne il punto di equilibrio) si muovono da sinistra a destra, quindi l’origine non pu` o essere un punto stabile. Il sistema linearizzato ` e stabile, pi` u precisamente entrambi gli autovalori sono nulli, quindi la…