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SECONDA PROV A IN ITINERE DI ANALISI 1 E GEOMETRIA - 7 FEBBRAIO 2014 VERSIONE 1 DOCENTI: E. BERETTA, M. BOELLA, M. CITTERIO, R. NOTARI Parte A Esercizio 1. Enunciare e dimostrare il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale. Esercizio 2. Enunciare il teorema della formula di Taylor di ordine n, con resto secondo Lagrange. Calcolare, nel punto di ascissa x0 = 1, la retta tangente al grafico della funzione F (x) = ∫ x 1 e √ t dt + 1 2x2 . Esercizio 3. Si enunci il Teorema degli zeri. Si dimostri che esiste un unico punto x0∈ [0, 1] per cui f(x0) =g(x0), con f(x) =xex , g (x) = 1 1 +x2 . Parte B Esercizio 1. Determinare dominio, eventuali simmetrie, segno, comportamento agli estremi del dominio, eventuali asintoti, intervalli di monotonia, estremi relativi, concavit` a ed eventuali flessi della funzione f(x) =x + ln (2ex− 1 ex− 2 ) . Dopo aver tracciato un grafico qualitativo, determinare i valori di c∈ R per cui l’equazione f(x) = c ammette un numeri dispari di soluzioni. Esercizio 2. Calcolare i seguenti limiti senza usare il Teorema di de l’Hospital: lim x→0 ex2 − cos(2x) x ln ( 2x +x3 cos (1 x )) , lim x→+∞ (lnx x ) 1 x . Esercizio 3. Usando la definizione, calcolare ∫ +∞ 1 1 x2 arctan (1 x ) dx . Studiare poi la convergenza, al variare di α∈ R, dell’integrale generalizzato ∫ +∞ 0 1 x2 arctan(xα) dx. Esercizio 4. Calcolare l’area della regione di piano compresa tra l’asse x ed il grafico della funzione f(x) = (x− 1) √ 9−x2 su tutto il dominio di f. Esercizio 5. Studiare la derivabilit` a della funzionef(x) =| 3√x + 1| e classificare i punti in cui essa non ` e derivabile. 1