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1 7 Giugno 2003 – prima prova Esercizio 1 1.1 = 2 15 () 5 5 2 15() ( 2 ) 5 3 51 2 s Ys s s ss sWs s s s s s ss − −−+== = − + +− + −+ + 2 22 2 5 () 5 5 35() 5() 3 5 2 ( 5 ) 512 35 s Ys s s ssGs sUs s s s s s ss − −−+−== = = − + −− − ++− +− 1.2 Applichiamo il teorema del valore iniziale: 2 51(0) lim ( ) ( ) lim 0 5ss sys G s U s s ss s→∞ →∞ −== = ++ e 22 2 51( 0 ) l i m () () l i m 1 5ss sys G s U s s ss s→∞ →∞ −= == ++  . Visto che il sistema è asintoticamente stabile (infatti, 2 1,2 11 950 22ss p j++= ⇒ = − ± ), si può applicare il teorema del valore finale: 200 51lim ( ) ( ) lim 1 5ss sys G s U s s ss s ∞ →→ −== = − ++ . Rappresentazione grafica di y(t): w(t) Step Response Tim e (sec) Amplitude 0 2 4 6 8 10 12 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 2 Esercizio 2 Usiamo il criterio di Routh: 2 2 2 2 11 1 1 1 1 βα α αβ α βα α α α α β −− +−  − perciò dobbiamo imporre che sia 2 2 1 0 1 01 0 α α βα α α α α β  −− >   +−   >  −   >  , con 0 per ipotesiα > . Quindi, 2 1 0 1 0 0 0 α α βα α α α β  −<   +− <   >  ≠ ossia 22 01 1 0 α βα β <<  +<  ≠ . Le aree indicate con le frecce sono quindi quelle per cui tutte le radici del polinomio hanno parte reale strettamente negativa: 0 1 -1 α β 3 Esercizio 3 3.1 Nell’ipotesi che 123(0) (0) (0) 0xxx === , passando alle trasformate di Laplace si ha 11 2 21 2 3 13 11 2 1 2 3 13 2 1 11 1 2 3 13 24 23 24 3 2 3 (2 ) 1 45(2 ) 4 22 2 3 2 sX X X U sX X X U sX U YX X sX X X U XUX s UX s YX X XU sssX U X U ss s XUX s UX s YX X =− − +  =− + =  =+ =− − +  + = +  =  =+  + ++ ++= − + ⇒ = ++ + + = +  =   =+ 1 2 22 2 22 3 2 45 (2 ) 1 45 3 45 3 (2 )1 31 0(2 )1 2( 2 ) 1 (2 )1 (2 ) 45 1 (2 ) 1 sXU s s ss ssX UU Uss ss UX s sYU ss + = ++ + + ++ + + +++…