07 11 18

Pagina 1

Politecnico di Milano - Ingegneria Biomedica Analisi Matematica 1 e Geometria 7-11-2018 Esercizio 1. Si consideri la seguente equazione nella variabile complessa z: () z2 + jzj2 iz = 1: a. Determinare le soluzioni di ( ) e rappresentarle sul piano complesso. b. Descrivere l'insieme S = { w 2 C : w3 = z; ove z  e soluzione di () t.c. jzj = 1 } e rappresentarlo sul piano complesso. Soluzioni a. Poniamo z = x + iy, con x; y 2 R incogniti. Come conseguenza delle eguaglianze z2 = x2 y2 + 2ixy; jzj2 = x2 + y2 e iz = ix + y; l'equazione ( ) diventa x2 y2 + 2ixy + x2 + y2 ix + y = 1 ( ) 2x2 + y + i (2xy x) = 1 : Per il principio di identit a di numeri compessi, deduciamo che tale equazione complessa  e equivalente al sistema di equazioni reali { 2x2 + y = 1 x(2y 1) = 0 ( ) { x = 0 y = 1 ; { x = 1=2 y = 1=2 e { x = 1=2 y = 1=2 : Tutte e sole le soluzioni di ( ) solo quindi z1 = i; z 2 = 1 2 + i 1 2 e z3 = 1 2 + i 1 2 : b. Notiamo preliminarmente che l'unica soluzione di ( ) di modulo uguale a 1  e z1 = i. L'insieme S pu o quindi essere descritto come ) S = 3p i = 3 √ cos (3 2 ) + i sin (3 2 ) = { cos ( 2 ) + i sin ( 2 ) ; cos (7 6 ) + i sin (7 6 ) ; cos (11 6 ) + i sin (11 6 )} = { i; p 3 2 i 1 2 ; p 3 2 i 1 2 } : Esercizio 2. Studiare la funzione f (x) = log 2(x) 2 log(x). Dominio di f : D(f ) = (0 ; +1) Segno di f : f (x) = ln x (ln x 2) 8 >>>< >>>: > 0 ( ) 0 < x < 1 e x > e 2; = 0 ( ) x = 1 e x = e2 (zeri di f ); < 0 ( ) 1 < x < e 2 Limiti agli estremi : lim x!0+ f (x) = + 1 e lim x!+1 f (x) = + 1 Eventuali asintoti: x = 0  e asintoto verticale destro superiore; poich ef (x)  ln2 x per x ! 1, tale funzione non ammette asintoti obliqui Derivata prima (formula e dominio) : f ′(x) = 2 log(x) 1 x sul dominio D(f ′) = D(f ) Segno di f ′ (max/min): f ′(x) 8…