08 02 17 2

Pagina 1

Politecnico di Milano — Meccanica Razionale — Prova del 8.2.2017 In un piano verticale, un singolo corpo rigido OABC ` e composto da due aste omogenee di massa M e lunghezza L, fissate ad angolo retto nel punto medio A dell’asta BC , e da un punto materiale di massa m, saldato nell’estremo B. Il corpo rigido ` e vincolato con una cerniera fissa nell’est remo O. Usando come coordinata libera l’angolo antiorario θ che l’asta OA forma con la verticale, Statica. individuare le configurazioni di equilibrio del sistema. Dinamica. Si supponga ora che sul corpo rigido sia applicata una coppia di momento Λ da determinare. • Calcolare come deve dipendere Λ dal tempo affinch´ e il corpo ri gido ruoti con velocit` a angolare ˙θ = αt. • Determinare, in tali condizioni, la reazione vincolare age nte sulla cerniera in O. O A B, m C L, M L, M Λ (solo din) Domanda di teoria. Teorema dell’energia cinetica e conservazione dell’energ ia meccanica Soluzione Sia θ l’angolo (antiorario) che l’asta OA determina con la verticale discendente. La configurazione d i equi- librio si determina utilizzando il Teorema di stazionariet ` a del potenziale. Detto H il centro di massa di OA si avr` a Ug(θ) = −M gyH − M gyA − mgyB = 1 2 ( (3M + 2m) cos θ + m sin θ ) gL. Le configurazioni di equilibrio si ottengono quindi risolve ndo l’equazione U ′ g(θ) = 0 = ⇒ tan θ = m 3M + 2m . In Dinamica, determiniamo la coppia richiesta Λ( t) utilizzando il teorema dell’energia cinetica. Essendo O il C.I.R. del corpo rigido, basta calcolare IO = 1 3 M L2    (OA) + 1 12 M L2 + M L2    (BC ) + 5 4 mL2    (B) = ( 17 12 M + 5 4 m ) L2, per avere T = 1 2 IO ˙θ2 e ˙T = I0 ˙θ ¨θ. Essendo inoltre Π = ˙Ug + Λ ˙θ = [ 1 2 ( − (3M + 2m) sin θ + m cos θ ) gL + Λ ] ˙θ, si ottiene Λ(t) = I0α + 1 2 ( (3M + 2m) sin θ − m cos θ )…