08 02 2006

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4) Poichè la biglia è un conduttore metallico in equilibrio elettrostatico, al suo interno il campo elettrico è nullo, e tutta la carica Q si trova uniformemente distribuita sulla sua superficie. Applicando il teorema di Gauss ad una superficie sferica concentrica con la biglia, il campo elettrico per R1<r<R2 risulta essere ! E(!r)= Q 4!"0r2ˆur, dunque per determinarlo occorre ricavare l’espressione della carica totale Q presente sulla biglia. Per definizione di potenziale elettrostatico, in base ai dati del problema possiamo scrivere: V0=!dV V0 0 "= ! E(!r) R1 R2 " #d!r= Qˆur 4$%0r2 R1 R2 " #d!r=!Q 4$%0rR1 R2 =Q 4$%0 1 R1 !1 R2 & '( ) *+ V0=Q 4!"0 R2#R1 R1R2 $ %& ' () Quindi Q=4!"0 R1R2 R2#R1 $ %& ' ()V0 da cui ! E(!r)= R1R2 R2!R1 " #$ % &' V0 r2ˆur per R1<r<R2 Per determinare il valore del campo elettrico in tutti i punti a distanza r>R2 dal centro della biglia, osserviamo innanzitutto che poichè il blocco metallico è messo in contatto con la terra la carica presente su di esso è una carica –Q richiamata da terra per induzione elettrostatica, e distribuita uniformemente sulla superficie interna della cavità. Dunque, applicando il teorema di Gauss ad una superficie sferica concentrica alla biglia e di raggio r>R2 si trova che il campo in tutti i punti esterni alla cavità è nullo. Il potenziale elettrostatico sarà naturalmente costante e pari a V0 in tutti i punti della biglia, essendo essa un conduttore in equilibrio elettrostatico. Per R1!r!R2il potenziale sarà determinato dalla espressione: V(r)=! dV V(r) 0 " = ! E(!#r) r R2 " $d!#r= R1R2V0ˆur (R2!R1)#r2 r R2 " $d!#r=!R1R2V0 (R2!R1) 1 rr R2 =R1R2V0 (R2!R1) 1 r!1 R2 % &' ( )* Per r!R2 il potenziale sarà naturalmente pari a 0 per via della messa a terra del conduttore esterno. Si osservi che mentre il campo elettrico…