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8 Giugno 2002 – prima prova Esercizio 1 1.a Per la fisica del sistema, si ha che CC LL RR RL LC CV I LI V VR I CI II VV = = = =+ =   Visto, poi, che 1 2 C L LR L xV xI uV V yV = = =+ = si deduce che 11 2 21 1 11Cx x x uR R Lx x yx ⎧ =− − +⎪ ⎪ =⎨ ⎪ =⎪⎩   ossia, dati i valori unitari dei parametri elettrici, 11 2 21 1 x xx u xx yx =− − +⎧ ⎪ =⎨ ⎪ =⎩   1.b Nell’ipotesi che lo stato iniziale sia nullo, la f.d.t. da ad u y è 1() ( )Gs C sI A B D−= − + . Visto che 11 10A −−⎡⎤= ⎢⎥⎣⎦ , , e 1 0B ⎡⎤= ⎢ ⎥⎣⎦ [1 0]C = 0D = , si ha allora che 1 1 11 11() 11 (1 ) 1 sssI A ss ss − − +−⎡⎤ ⎡⎤−= =⎢⎥ ⎢⎥−+ ++⎣⎦ ⎣⎦ 1 2 111() [1 0] 11 0(1 ) 1 s sGs sss s s −⎡⎤ ⎡ ⎤== ⎢⎥ ⎢ ⎥+++ + +⎣⎦ ⎣ ⎦ 1 . Metodo alternativo: nell’ipotesi che lo stato iniziale sia nullo, applicando le proprietà della trasformata di Laplace si ha 1 11 2 21 1 11 2 21 1 1 11 2 1 2 2 2 (1 ) 1 11 1 ()() () 1 xx x u xx yx sX X X U sX X YX X Us UsX U Xss s s XX s sYU ss Ys sGs Us s s =− − +⎧ ⎪ =⎨ ⎪ =⎩ =− − +⎧ ⎪ =⎨ ⎪ =⎩ ⎧ += − + ⇒ = =⎪ s+ +++⎪ ⎪ ⎪ =⎨ ⎪ ⎪ =⎪ ++⎪⎩ == ++   1.c I poli del sistema sono le radici del trinomio di secondo grado 2 1ss + + , ossia 1,2 13 2 jp −±= . Essendo essi a parte reale negativa, il sistem a è as intoticamente stabile; si può quindi applicare il teorema della risposta in frequenza, quando l’ingresso è una sinusoide. Per , quindi, si ha che l’uscita a regime è la sinusoide () sin(3 )ut t= ( ) (3 ) sin(3 (3 ))yt G j t G j=+ ( . Poiché 3( 3) 0.351139 24 73(3 ) 83 73 3( 3) arctan ( 0.3588 ) 1.21228 2 GjjjGj j Gj radππ π ⎧ ==⎪− ⎪==⇔ ⎨−+ ⎪ =− =− − + = −⎪ −⎩( si ha allora ( ) 0.3511sin(3 1.212 )yt t rad=− . Esercizio 2 2.a 2 31() (6 9 sYs ss s −= ++ ) , perciò l’unico zero (radice del numeratore) del segnale è 1 3z = 2 ed i tre poli (radici del denominatore) sono 1,2 3 3 0 p p =− = 2.b Sviluppiamo il…