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8 Settembre 2003 – recupero seconda prova 1. Si consideri il sistema retroazionato con ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ + = 15015 200)( sssR e . ksG =)( d(t) 1 1.a Si determini un possibile valore di che garantisca che, per k )()( tscatd = e , sia < 0)(0 =ty y 4 1 per , e che il sistema in anello chiuso sia asintoticamente stabile e con ∞→t mϕ > 35°. Primo requisito: 11() 1 55 0 () 1 ( ) ( ) 1 1 20055 0 ss Ys ssDs Rs G s k ⎛⎞ ⎛ ⎞++⎜⎟ ⎜ ⎟⎝⎠ ⎝ ⎠== + ⎛⎞ ⎛ ⎞++ +⎜⎟ ⎜ ⎟⎝⎠ ⎝ ⎠ 00 11() 1 155 0lim ( ) lim ( ) lim() 1 20011 20055 0 ts s ss Ysyt s D s s ssDs s kk →∞ → → ⎛⎞ ⎛ ⎞++⎜⎟ ⎜ ⎟⎝⎠ ⎝ ⎠== = +⎛⎞ ⎛ ⎞++ +⎜⎟ ⎜ ⎟⎝⎠ ⎝ ⎠ (si può applicare il teorem a del valore finale, perché il sistema in anello chiuso deve anche essere asintoticamente stabile). 1 1 3 200 1 3 301 200 4 4(1 200 ) 200 200 200 k kk kkk −<⇒ < ⇒ < − ∨ > ⇒ >++ , perché k deve essere positivo per poter applicare il criterio di Bode (per via della richiesta sul margine di fase). Secondo requisito: la funzione d’anello è 200() () ( ) 1155 0 kLs R s G s ss== ⎛⎞ ⎛ ⎞+ +⎜⎟ ⎜⎝⎠ ⎝ ⎟⎠ ; per k=1, i suoi diagrammi di Bode sono e(t) + + + - G(s) y0(t) y(t) R(s) 10 0 10 1 10 2 10 3 -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 gradi li Diagramma di Bode - Fase 10 0 10 1 10 2 10 3 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 dB li Diagramma di Bode - Modulo da cui si deduce che il secondo requisito è soddisfa tto solo in parte, cioè solo per quanto riguarda l’asintotica stabilità ( 200, 170 , 10 35cc mω ϕϕ −° ° <  ° ). Per aumentare il margine di fase, oc corre qui far diminuire la cω , il che si può ottenere prendendo k< 1; visto che deve essere, però, 3 200k , bisogna scegliere k non troppo piccolo: ad esempio, proviamo con > 10 200k = : otteniamo così 10 0 10 1 10 2 10 3 -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 gradi 2 ossia 50cω  rad/s (40 più precisam…