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Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica 8 Luglio 2016 c⃝I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar a perseguito. Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1: Sia X1; : : : ; Xn un campione casuale da una distribuzione con legge Geometrica di parametro p 2 (0; 1): P(Xi = k) = p(1 p)k 1; 8k  1 E[Xi] = 1 p V ar[Xi] = 1 p p2 (a) Si trovi una statistica sufficiente, minimale e completa per il parametro p; (b) Si calcoli lo stimatore di massima verosimiglianza bp per p; (c) Si discuta consistenza, asintotica normalit a e asintotica efficienza di bp; (d) Si proponga uno stimatore non distorto per p; (e) Si calcoli lo stimatore UMVUE per p nel caso di un campione di ampiezza n = 2. 1 Esercizio 2: Sia X1; : : : ; Xn un campione casuale da una distribuzione con la seguente densit a di probabilit a: f (xj) = 2 2 x3 1(;1)(x);  > 0: (a) Si calcoli lo stimatore di massima verosimiglianza b per ; (b) Si calcoli la densit a di probabilit a dib; (c) Si trovi la regione critica di livello 2 (0; 1) basata sul rapporto di versimiglianza per il test d'ipotesi: H0 :  = 0 vs H1 :  ̸= 0, 0 > 0; (d) Utilizzando la regione critica costruita al punto (c), trovare un intervallo di con denza per  di livello (1 ); (e) Utilizzando la quantit a pivotale Q = b=, trovare la costante c > 0 affinch e l'intervallo di con denza (0; bc) per  sia di livello (1 ). 2