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Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell'Inferenza Statistica 8 Settembre 2016 c⃝I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar a perseguito. Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1: Sia X1; ::; Xn un campione casuale d'ampiezza n  1 in cui ciascuna variabile abbia legge: f (x; ) = ( x  + 1 2 ) 1( 1;1)(x); dove   e un parametro reale tale che jj > 2. (a) Si calcoli media e varianza di ciascuna variabile Xi. (b) Si costruisca lo stimatore dei momenti  per . Fornisce sempre stime ammissibili? (c) Si stabilisca la consistenza e l'asintotica normalit a di . Fissato un valore 0 > 2, si consideri ora il test d'ipotesi: H0 :  = 0 vs H1 :  = 0; (1) e si risolvano i seguenti punti: (d) Si costruisca una regione critica asintoticamente di livello 2 (0; 1) per il test d'ipotesi in (1). (e) Considerando una sola osservazione ( n = 1), si dimostri che la regione critica fX1 > 0g rappresenta il test UMP di livello = 0:1 per il test d'ipotesi in (1) con 0 = 5=4. 1 Esercizio 2: Sia X1; ::; Xn un campione casuale d'ampiezza n  1 in cui ciascuna variabile abbia legge: f (x; ) = 1 x log()1(1;1)(x); dove   e un parametro reale tale che  > 1. (a) Si trovi W statistica sufficiente, minimale e completa per . (b) Si costruisca lo stimatore di massima verosimiglianza ^ per . (c) Si calcoli la media di ciascuna variabile Xi e si mostri che ^  e consistente per. Fissato un valore 0 > 1, si consideri ora il test d'ipotesi: H0 :  = 0 vs H1 :  ̸= 0; (2) e si risolvano i seguenti punti: (d) Si costruisca la forma della regione critica per il test d'ipotesi in (2) basata sul rapporto di verosimiglianza. 2 Esercizio…