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Es.1 Es.2 Es.3 Es.4 Es.5 Esercizi D.1 D.2 Domande VOTO Analisi Matematica I e Geometria Terzo Appello Docenti: 10 luglio 2018 Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta deve essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. Esercizi Es.1. `E data la funzione f(x) = lnx 4x2 . a) Determinarne il dominio, le eventuali intersezioni con gli assi coordinati ed il segno. Individuare eventuali asintoti della funzione. b) Studiare gli intervalli di monotonia (il crescere e decrescere). Determinarne gli eventuali punti stazionari e individuare eventuali punti di massimo e/o minimo. c) Dopo avere studiato la convessit` a di f , evidenziando eventuali punti di flesso, tracciarne un grafico quali- tativo. Svolgimento. a) Il dominio ` eA = (0, +∞) . La funzione interseca l’asse delle ascisse nel punto (1, 0) . La funzione ` e positiva per x∈ (1, +∞) , negativa per x∈ (0, 1) . Agli estremi del dominio si trovano i valori dei limiti lim x→0+ f(x) =−∞, e lim x→∞ f(x) = 0. Si trovano quindi la retta x = 0 come asintoto verticale e la retta y = 0 come asintoto orizzontale. b) Si ha f′(x) =−2 lnx− 1 4x3 (la funzione ` e derivabile in tutto il suo dominio) da cui f′(x) = 0 per x =√e . Pertanto si ha un punto di massimo relativo (anche globale) in x =√e (f(√e) = 1/8e ). c) La funzione ammette derivata seconda f′′(x) = 6 lnx− 5 4x4 . Pertanto, poich´ ef′′(x)> 0 per x∈ ( e5/6, +∞ ) , la funzione sar` a convessa in tale intervallo ed x =e5/6 ` e un punto di flesso. Es.2. Si consideri la funzione F (x) = e−x2/2− cosx. a) Determinare la parte principale di F (x) per x→ 0 . b) Al variare del parametro reale α , studiare la…