Collection of exams 2009 2010

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Analisi 1 con Geometria - 9/11/09 - prova in itinere - Ing. Ges tionale - A Docenti: M. Boella, E. Grassini, R. Notari, C. Perelli Cippo Esercizio 1. Definire il limite lim n→∞ an = l con {an}n∈ N successione reale ed l ∈ R. Calcolare poi lim n→∞ 2n2 − n n2 + 1 e verificare la risposta data usando la definizione. Il limite calcolato ` e il massimo dei numeri {an}n∈ N? `E l’ estremo superiore? Giustificare la risposta. Svolgimento. lim n→ +∞ an = l ` e definito come ∀ε > 0 ∃ nε ∈ N | |an − l|< ε ∀n > n ε. Si ha poi facilmente che lim n→ +∞ 2n2 − n n2 + 1 = 2. Infatti an ` e rapporto di due polinomi di grado 2 , e, mettendo in evidenza n2 sia al numeratore, sia al denominatore, si ottiene il risultato precedente. Verifichiamo ora se il calcolo effettu ato ` e corretto. La disequazione |2n2− n n2+1 − 2|< ε, svolgendo i calcoli, diventa |− n− 2 n2+1 |< ε. Levando il valore assoluto, si ha − ε < − n − 2 n2 + 1 < ε. Osserviamo che la frazione − n− 2 n2+1 risulta negativa per ogni n ∈ N, e quindi la disequazione − n− 2 n2+1 < ε ` e risolta da ogni numero naturale n. La disequazione rima- nente − n− 2 n2+1 > − ε, con pochi calcoli viene trasformata in εn2− n− 2− ε n2+1 > 0, ed essendo n2 +1 > 0 per ogni n ∈ N, diventa εn2 − n− 2− ε > 0. Il discriminante del polinomio di secondo grado ` e ∆ = 1 + 8 ε+ 4ε2 ed ` e > 0 per ogni ε > 0. Quindi la disequazione ` e risolta per n < 1− √ ∆ 2ε oppure n > 1+ √ ∆ 2ε . Posto nε = max {n ∈ N | n ≤ 1+ √ ∆ 2ε }, allora la disequazione |an − l| < ε ` e risolta per n > n ε e quindi il limite calcolato in precedenza ` e corretto. Abbiamo verificato che an − l < ε ` e verificata per ogni n ∈ N e per ogni ε > 0. Quindi an − l ≤ 0 per ogni n ∈ N ossia an ≤ l per ogni n ∈ N. Abbiamo anche verificato che per ogni ε > 0 esistono elementi della successione che…