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10 Settembre 2002 – recupero prima prova Esercizio 1 1.a Nell’ipotesi che , passando alle trasformate di Laplace si ha 12 3(0) (0) (0) 0xx x== = 11 21 32 32 1 2 3 2 22 4 3 4 (4 ) (4 ) 33 (4 ) ( 4) (4 ) sX X U sX X sX X YX X UX s UX ss UX ss UU sYU ss s s ss =− +⎧ ⎪ =⎪⎨ =⎪ ⎪ =+⎩ ⎧ =⎪ +⎪ ⎪ =⎪ +⎪⎨ ⎪ = +⎪ ⎪ +⎪ =+ =++ +⎪⎩ 2 () 3() () ( 4) Ys sGs Us s s +== + Uno zero: . 3z =− Tre poli, di cui due nell’origine ed uno in 4− (e quindi il sis tema è semplicemente stabile, e quind i si può applicare il teorema del valore finale – si veda il punto 1.b). 1.b 2 33() ( ) () (4 ) sYs G s U s ss s +== + Applichiamo il teorema del valore iniziale ad y ed alle sue derivate: 3 3(0) lim ( ) lim 3 0(4 )ss sys Y s s ss→∞ →∞ +== ⋅ + = 22 3 3(0) lim ( ) lim 3 0(4 )ss sys Y s s ss→∞ →∞ +== ⋅ +  = 33 3 3(0) lim ( ) lim 3 3(4 )ss sys Y s s ss→∞ →∞ +== ⋅ +  = Applichiamo il teorema del valore finale ad y : 300 3lim ( ) lim 3 (4 )ss sys Y s s ss ∞ →→ +== ⋅ + = ∞ Verifica: scomponendo in frazioni semplici secondo il metodo di Heavyside, si ha che 23() 4 A BC DYs ss s s=+ + + + , con ; pertanto, , la cui rappresentazione grafica è 3/ 64 3/ 16 9/ 4 3/ 64 A B C D =−⎧ ⎪ =⎪⎨ =⎪ ⎪ =⎩ 24() ( ) ( )tyt A Bt Ct De sca t−=+ + + 1 Step Response Time (sec) Amplitude 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Esercizio 2 Usiamo il criterio di Routh: 2 22 2 23 2 2 2 1( 0( 1)(1 ) ( 1) (1 ) ( 1) (1 ) () ( 1) (1 ) 1)αββ α ββ βα β β αβα βαββ βα β α βββα ββ β α βαββ − −− −−= − − = − −− −−= − +− −−−= −−+ Se e solo s e i coefficienti della prim a colonna sono non nulli e dello stesso segn o, il sis tema è asintoticamente stabile: allora, essendo uno dei coefficienti pari ad 1>0, dovrà aversi 0 (1 ) 0 (1 ) 0 β βα ββ >⎧ ⎪ −>⎨ ⎪−− >⎩ ossia 1 1 β α >⎧ ⎨ >⎩ Esercizio 3 3.a 12 1 1 2 2() () () () () () ()Ys Y s Y s G s U s G s U…