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Probabilit` a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d’esame del 23/9/2010. Cognome: Nome: Matricola: Firma: Barrare la propria casella: 2 corso da 10 crediti; 2 corso da 5 crediti (Calcolo delle probabilit` a (per Ing. Mat)). I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito. 1. Sia X∼N(1, 1). Sia poi W una variabile aleatoria tale che W∼N(0, 2), W indipendente da X. Sia infine Y =−2X + 3 +W. (a) Calcolare media e varianza di Y . (b) Trovare la legge congiunta di X e Y . (c) Trovare la legge congiunta di X, Y e W . Dire se tale legge ammette densit` a, giustifi- cando la risposta. Siano ora X1 e Y1 variabili aleatorie aventi la stessa legge congiunta di X e Y . (d) Calcolare E(Y1|X1 =x) e E(Y1|X1). (e) Posto W1 =Y1−E(Y1|X1), si provi che risulta W1∼N(0, 2), W 1 indipendente da X1, e anche Y1 =−2X1 + 3 +W1. Soluzione (sintetica). (a) EY = 1, VarY = 6. (b) Congiuntamente normali con media e varianza ( 1 1 ) , ( 1 −2 −2 6 ) . (1) (c) Congiuntamente normali con media e varianza   1 1 0  ,   1 −2 0 −2 6 2 0 2 2  . La densit` a non esiste perch´ e la varianza ` e singolare. 1 (d) Sia ora ( X1,Y 1) gaussiano con media e varianza date da (1). In base alla nota formula per le medie condizionate nel caso gaussiano si trova E(Y1|X1 = x) =−2x + 3 da cui E(Y1|X1) =−2X1 + 3. (e) E’ chiaro dal punto precedente che Y1 =−2X1 + 3 +W1. Procedendo come al punto 1 si trova EW1 = 0, VarW 1 = 2. Infine W1 ` e indipendente daX1 per la gaussianit` a e perch´ eCov(X1,W 1) = 0. 2 2. Si consideri la funzione di massa di probabilit` a f(x) = e−θ2 θ2x x! , x = 0, 1, 2,... doveθ> 0 ` e un parametro reale. (a) Riconoscere la distribuzione corrispondente e scriverne la media in funzione di θ. Sia Xk una successione di varabili…