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Analisi Matematica 2 - Ingegneria Fisica 10 febbraio 11 Cognome: Nome: Firma: c⃝ I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sar` a perseguito a termini di legge dal titolare del diritto. 1. Data la funzione f (x, y ) = sin y + x log(1 + xy ) − sin 2 (xy ) (1.1) Calcolare il polinomio di Taylor di f (x, y ) al quarto ordine in (0 , 0) (1.2) Calcolare il piano tangente al grafico di f (x, y ) in (0 , 0). (1.3) Determinare la posizione del piano tangente rispetto al grafico di f (x, y ) in un intorno del punto (0 , 0). 2. Enunciare il teorema del Dini. 3. Sia dato il sistema { ˙x = y − 6 ˙y = 16 x 3 − 3x 4 − 18 x 2 . (3.1) Trovare i punti di equilibrio. (3.2) Disegnare alcune traiettorie del sistema. (3.3) Dalle traiettorie dedurre la natura dei punti di equilibrio. (3.4) Trovare un integrale primo. (3.5) Il sistema ammette traiettorie illimitate? (3.6) Il sistema ammette traiettorie periodiche? (3.7) Calcolare il sistema linearizzato in un punto di equilibrio. 4. Definire la derivata lungo le traiettorie di un sistema autonomo. 1