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Probabilit` a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d’esame del 24/1/2011. Cognome: Nome: Matricola: Firma: Barrare la propria casella: 2 corso da 10 crediti; 2 corso da 5 crediti (Calcolo delle probabilit` a (per Ing. Mat)). I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito. 1. La funzione “casuale” di un lettore di mp3 seleziona la prima canzone da ripro- durre con uguale probabilit` a fra i brani presenti; quindi procede escludendo ogni volta solo l’ultimo brano riprodotto e selezionando il successivo con uguale probabilit` a fra i rimanenti. Numerati da 1 a n i brani presenti, si indichino con X1, X2 e X3 il primo, il secondo e il terzo brano riprodotti. (a) Si introduca un opportuno modello probabilistico per le variabili aleatorie X1,X2 eX3: • quale distribuzione ha X1? • quale distribuzione ha X2 sapendo che X1 =i? • quale distribuzione ha X3 sapendo che X1 =i e che X2 =j? (b) Trovare la distribuzione congiunta di X1, X2 e X3. (c) Trovare la distribuzione congiunta di X1 e X3. (d) Calcolare la probabilit` a che il primo e il terzo brano selezionati siano uguali. (e) Trovare la distribuzione di X3. Le variabili X1 e X3 sono indipendenti? Distratti da una telefonata avete perso il primo brano e ora come secondo selezionato state ascoltando il brano j. (f) Sapendo quindi che X2 = j, quanto vale la probabilit` a che il primo brano selezionato fosse il brano i? Si risponda per ogni possibile i = 1,...,n . (g) Sempre sapendo che X2 =j, ma non conoscendo X1, quale distribuzione ha X3? Continuate ad ascoltare scoprendo che il terzo selezionato ` e il branok. (h) Sapendo quindi che X2 = j e che X3 = k, quanto vale ora la probabilit` a che il primo brano selezionato fosse il brano i? Si risponda per ogni…