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Probabilit` a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d’esame del 28/6/2011. Cognome: Nome: Matricola: Firma: Barrare la propria casella: 2 corso da 10 crediti; 2 corso da 5 crediti (Calcolo delle probabilit` a (per Ing. Mat)). I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito. 1. Il Professor Dairi vuole simulare due estrazioni successive del Lotto col suo calcolatore e chiede a voi una consulenza probabilistica. Innanzitutto vi chiede un’analisi preliminare della distribuzione dei possibili risultati. Detti dunque Y1 e Y2 gli esiti di due estrazioni senza reimmissione da un’urna contenente 90 palline numerate, dovete determinare: (a) la distribuzione di Y1, (b) la distribuzione di Y2|Y1 =i per ogni possibile i = 1,..., 90, (c) la distribuzione congiunta di Y1 e Y2, (d) la distribuzione di Y2. Il calcolatore del Professor Dairi ` e dotato di un generatore di numeri casuali che pu` o simulare una successione di estrazioni con reimmissione, ovvero pu` o simulare una successione di variabili aleatorie Xn i.i.d. con la stessa distribuzione di Y1. Per simulare due estrazioni successive del Lotto, il Professor Dairi pensa dunque di simulare la prima con W1 = X1 e la seconda con il numero W2 ottenuto aspettando il primo numero casuale Xn diverso da X1, oppure ancora con W2 =X1 se sfortunatamente si dovesse verificare Xn =X1 per ogni n≥ 2. Vi chiede di stabilire se il procedimento ` e corretto. (e) Per i,j ∈{ 1,..., 90}, esprimere l’evento (W1 =i,W 2 =j) usando le variabili Xn. (f) Calcolare la distribuzione congiunta di W1 e W2. (g) La coppia ( W1,W 2) pu` o essere dunque usata per simulare (Y1,Y 2)? (h) Quanto vale la probabilit` a di ottenere (W1,W 2) generando al pi` u tre variabiliX? 1 Soluzione. (a) Y1∼U (…