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Probabilit` a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d’esame del 23/9/2011. Cognome: Nome: Matricola: Firma: Barrare la casella in caso di corso da 5 crediti: 2 I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito. 1. La sig.na Ikue sta per cercare frettolosamente una lettera che si trova con uguale probabilit` a in uno deglin cassetti dell’armadio dell’ufficio. La sig.na Ikue controller` a tutti i cassetti uno dopo l’altro, ma, essendo la ricerca frettolosa, per ogni cassetto k, se anche questo dovesse contenere la lettera, ci sar` a solo una probabilit` apk di trovarla. Si risponda alle seguenti domande introducendo dapprima tutti gli eventi necessari per formalizzare il problema con un modello probabilistico e rappresentandoli graficamente. (a) Con quale probabilit` a la lettera si trova nel cassetto k? (b) Con quale probabilit` a la lettera verr` a trovata nel cassettok? (c) Con quale probabilit` a la lettera verr` a trovata durante la ricerca frettolosa? La sig.na Ikue ha gi` a controllato frettolosamente il primo cassetto senza trovare la lettera. (d) Se la lettera non ` e stata trovata nel primo cassetto, con quale probabilit` a si trova nel primo cassetto? (e) Tracciare un grafico qualitativo che mostri la dipendenza della probabilit` a calcolata in (d) da p1. Trovare poi i valori di p1 per cui tale probabilit` a ` e massima o minima. Soluzione. Per ogni k = 1,...,n siano Ak = la lettera si trova nel cassetto k, Bk = la lettera durante la ricerca frettolosa viene trovata nel cassetto k, dove gli Ak sono una partizione dello spazio campionario e dove Bk⊂Ak per ogni k. (a) P (Ak) = 1/n per ogni k = 1,...,n . (b) P (Bk) =P (Bk|Ak)P (Ak) +P (Bk|Ac k)P (Ac k) =pk 1 n + 0 = pk n . (c) Essendo gli eventi Bk…