11settembre17

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Analisi Matematica II - 11 settembre 2017 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Domanda 1 . Enunciare e dimostrare il teorema di Gauss-Green nel caso di dominio semplice. Domanda 2 Enunciare il teorema della funzione inversa per una funzione f : Rn→ Rn. Domanda 3 Enunciare il lemma di Gronwall. Analisi Matematica II - 11 settembre 2017 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1 . Sia D il quadrato di vertici{(−1, 1), (1, 3), (3, 1), (1,−1)}. Calcolare ∫ D (x +y)(x2−y2)4dxdy. Soluzione. Con un cambio di variabili u =y−x e v =y +x l’integrale diventa 1 2 ∫ 4 0 ∫ 2 −2 v5u4dudv = ∫ 4 0 v5dv ∫ 2 −2 u4du = 65536 15 . Esercizio 2 . Determinare in quali punti {(x,y )∈ R2} la funzione f(x,y ) = log(1 +| sinxy|) ` e derivabile e in quali punti ` e differenziabile. Soluzione. Basta studiare la derivabilit` a e la differenziabilit` a dig(x,y ) =| sinxy|. Chiara- menteg(x,y ) ` e differenziabile sexy̸=kπ. Poich´ e ` e nulla sugli assi cartesiani, ammette derivate parziali in (0, 0). Si verifica con la definizione che ` e anche differenziabile nell’origine, mentre nei puntixy =kπ diversi dall’origine le derivate parziali non esistono. Esercizio 3 . Studiare punti stazionari, orbite periodiche, orbite omo/eterocline per l’equazione x′′ = 1 x4− 1 x3 , e si traccino alcune orbite sul piano delle fasi. Soluzione. Si tratta di un’equazione di Newton con potenziale U(x) = 1 3x3− 1 2x2 , quindi le orbite del sistema si trovano sulle curve di livello di E(x,y ) = y2 2 +U(x). Il potenziale ha un minimo in x = 1, che corrisponde a una soluzione di equilibrio stabile. Intorno a…