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GEOMETRIA E COMPL. DI ANALISI MA T. 12 luglio 2013 Cognome: Nome: Matricola: V ecchio Ord. Geom - Analisi Nuovo Ord. Geom - Analisi R. Betti / A. Di Libero • Riassumere le risposte negli spazi sotto le domande e, se occorre, allegare altri fogli per lo svolgimento. • Nelle domande a risposta multipla, pi` u risposte possono essere corrette. Indicarle con una croce. • Per annullare una risposta ritenuta errata racchiuderla in un cerchio. Limitarsi a una correzione per domanda. 1. [A]Determinare l’integrale generale dell’equazione di↵erenziale y00 h2y = e t al variare del parametro h 6= 0. Dedurre dall’equazione data che la derivata seconda di ogni soluzione passante per l’origine ` e costante. Quanto vale questa costante? Integrale generale al variare di h: .............................................................................. Valore costante della derivata seconda di ogni soluzione passante per l’origine: ................................ 2. [A] Studiare la superficie S rappresentata dalla funzione z =3 x2 y2 +2 x (campo di esistenza, zeri, segno della funzione, rappresentandoli su un grafico) e determinare gli eventuali punti stazionari e la loro natura. Inoltre, dimostrare che la curva di intersezione fra la suoerficie S ed il cilindro di equazione x2 +y2 = 1 piana e calcolare il volume del cilindroide limitato inferiormente dal piano xy, superiormente dalla superficie S e lateralmente dal cilindro. Punti stazionari: ................................... Volume del cilindroide: ................................... 3. [G-A] Data l’elica cilindrica C di equazioni parametriche: 8 >< >: x = cos t y =s i nt z = t ( 1 <t< +1 ), dimostrare che la tangente in ogni punto forma un angolo costante con l’asse delle z. Quanto vale quest’angolo? Inoltre, dopo aver verificato che il…