12 07 17

Pagina 1

Es.1 Es.2 Es.3 Es.4 Es.5 Es.6 Esercizi D.1 D.2 Domande VOTO Analisi Matematica 1 e Geometria Secondo appello – 12/7/2017 Cognome: Nome: Matricola: Firma: Professore: Ing. Gestionale I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sarà perseguito a termini di legge dal titolare del diritto.c⃝ Esercizio 1. Si studi la funzione /f.math(/x.math) = log/x.math 1 + log/x.math/comma.math precisandone in particolare: dominio di definizione, segno e zeri, limiti agli estremi del dominio di definizione, eventuali asintoti, derivata, intervalli di monotonia, eventuali punti di estremo relativo o assoluto, limiti della derivata, derivata seconda, concavitá e flessi. Disegnarne poi un grafico qualitativo della funzione. Soluzione: Osserviamo che la funzione é definita in (0/period.math∞)\{ 1/e}. I limiti agli estremi del dominio sono lim /x.math→∞ /f.math(/x.math) = 1/comma.mathlim /x.math→1/e± /f.math(/x.math) =∓∞/comma.mathlim /x.math→0+ /f.math(/x.math) = 1/period.math La retta /x.math= 1/e é un asintoto verticale e la retta /y.math= 1 é un asintoto orizzontale. Non ci sono asintoti obliqui. Dallo studio della derivata prima /f.math′(/x.math) = 1 /x.math(1 + log/x.math)2/comma.math si osserva che essendo sempre positiva, la funzione é monotona crescente nel suo dominio. Dallo studio della derivata seconda /f.math′′(/x.math) =− log/x.math+ 3 /x.math2(1 + log/x.math)3/comma.math si ricava che la funzione é concava in (0/comma.mathe−3), convessa in (e−3/comma.mathe−1), concava in (e−1/comma.math+∞) e che /x.math= e−3 é un punto di flesso a tangente obliqua. Esercizio 2. Calcolare il seguente limite: lim /x.math→0 1 /x.math2 ( /x.math sin/x.math− sin/x.math…