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Probabilit` a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d’esame del 23/1/2012. Cognome: Nome: Matricola: Firma: Barrare la casella in caso di corso da 5 crediti: 2 I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito. 1. Siano X,Y variabili aleatorie reali che ammettono densit` a congiunta f(x,y ) =    λe−λx x , per 0<y <x, 0, altrove, doveλ> 0 ` e un parametro. (a) Calcolare E[Xe−Y ]. (b) Trovare le leggi marginali di X e Y (lasciare indicati eventuali integrali non calcolabili elementarmente). (c) Trovare la legge condizionata di Y dato X =x. (d) Calcolare il valore atteso condizionato di Y dato X =x. (e) Calcolare il valore atteso di Y . Soluzione. (a) E[Xe−Y ] = ∫ R2 xe−yf(x,y )dxdy = ∫ ∞ 0 λe−y ∫ ∞ y e−λxdxdy = 1 1 +λ. (b) fX(x) = ∫ R f(x,y )dy = 1(0,∞)(x) ∫ x 0 λe−λx x dy = 1(0,∞)(x)λe−λx, cio` eX ha legge esponenziale di parametro λ. fY (y) = ∫ R f(x,y )dx = 1(0,∞)(y) ∫ ∞ y λe−λx x dx. (c) Per x> 0 tale legge ` e quella che ammette densit` a fY|X(y,x ) =    λe−λx x · 1 λe−λx = 1 x, per 0<y <x, 0, altrove,    = 1 x1(0,x)(y), cio` e la legge uniforme sull’intevallo (0,x ). Per x≤ 0 la densit` a condizionale ` e arbitraria. (d) Per x> 0, E[Y|X =x] = 1 x ∫x 0 ydy =x/2. (e) E[Y ] = ∫ R E[Y|X =x]fX(x)dx = ∫ ∞ 0 x 2λe−λxdx = 1 2λ. 1 2. Sia X una variabile aleatoria con legge Beta(α,β ), cio` e con densit` a continua f(t) = Γ(α +β) Γ(α)Γ(β) tα−1(1−t)β−11(0,1)(t), t ∈ R, doveα> 0, β >0 sono due parametri e Γ ` e la funzione Gamma di Eulero. Si trova EX = α α +β, VarX = αβ (α +β)2(α +β + 1). a) Per α> 1, β >1 si trovino tutte le eventuali mode di X. Presi due numeri reali c,d (c̸= 0) si definisca Y =cX +d. b) Calcolare E(Y ), VarY , E(Y 2). c) Trovare il supporto e la densit` a continua diY . Sia ora…