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Probabilit a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 26/6/2012. Cognome: Nome: Matricola: Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar a perseguito. 1. Siano X e Y variabili aleatorie indipendenti, entrambe esponenziali di parametro λ > 0. Si consideri il vettore aleatorio ( X, X + Y ). (a) Determinare φ(X;X+Y ), la funzione caratteristica del vettore. (b) Trovare e disegnare S(X;X+Y ), il supporto del vettore. (c) Mostrare che (X, X +Y )  e un vettore aleatorio continuo e calcolarne la densit af(X;X+Y ). (d) Trovare fX+Y , la densit a della variabile aleatoria X + Y , e riconoscerla. (e) Determinare e riconoscere la distribuzione condizionata di X dato X + Y = t, dove t > 0. (f) Determinare E[X|X + Y = t], il valore atteso condizionato di X dato X + Y = t; determinare poi E[X|X + Y ], il valore atteso condizionato di X dato X + Y . (g) Determinare e riconoscere la distribuzione di E[X|X + Y ]. (h) Stabilire, in uno dei molti modi possibili, se le variabili X e X + Y sono indipendenti. 1 Soluzione. (a) Usando l'indipendenza di X e Y , φ(X;X+Y )(u, v) = E[exp{i(uX + vX + vY )}] = φX (u + v) φY (v) = λ λ − iu − iv λ λ − iv = λ2 λ2 − iλ(u + 2v) − uv − v2 (b) Poich eX e Y hanno supporto (0 , ∞) risulta S(X;X+Y ) = { (x, t) ∈ R2 : 0 < x < t } . (c) (X, X + Y ) = h(X, Y ) con ( X, Y ) vettore aleatorio continuo (le sue componenti X e Y sono variabili aleatorie continue e indipendenti) e con h trasformazione lineare invertibile di R2 di determinante pari a 1. Pertanto ( X, X + Y )  e un vettore aleatorio continuo con f(X;X+Y )(x, t) = f(X;Y ) ( h 1(x, t) ) det Jh 1(x, t) IS(X;X+Y )(x, t) = fX (x) fY (t − x) IS(X;X+Y )(x, t) = λe xI(0;+1)(x) λe (t x)I(0;+1)(t − x) = λ2e t I(0;+1)(x) I(x;+1)(t) (d)…