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Probabilit a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d’esame del 17/7/2012. Cognome: Nome: Matricola: Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar a perseguito. 1. Alla Caduta delle Dodici Colonie sono sopravvissuti 47 ·954 coloni, fra cui si nascon- dono 12 cyloni, robot senzienti dall’aspetto umano, alcuni dei quali inconsapevoli della propria natura. (a) Quanto vale la probabilit` a che un colono sia un cylone? Il Dottor Gaius Baltar progetta un rivelatore di cyloni per poterli scovare. Il rivelatore non pu` o essere per` o perfetto. Indichiamo quindi con p la probabilit` a che un essere umano venga classificato erroneamente cylone e con q la probabilit` a che un cylone venga classificato erroneamente essere umano. (b) Quanto vale la probabilit` a che un colono venga classificato cylone? Il Tenente Sharon ”Boomer” Valerii chiede al Dottor Baltar di potersi sottoporre al rivela- tore. (c) Se il Tenente Boomer viene classificata cylone, quanto vale la probabilit` a che lo sia veramente? (d) Quale condizione devono soddisfare p e q affinch` e la probabilit` a determinata in (c) superi il 99%? (e) Quanto vale invece la probabilit` a determinata in (c) se p = q = 0, 001? Soluzione. Consideriamo i seguenti eventi relativi all’uso del rivelatore con un colono scelto a caso fra i sopravvissuti: • U = il colono ` e un umano • C = il colono ` e un cylone • P = il rivelatore classifica il colono come cylone • N = il rivelatore classifica il colono come umano per cui P(U ) = 47·942 47·954 = 0.99974976, P(C) = 12 47·954 = 0.00025024, P(P |U ) = p, P(N |C) = q. (a) P(C) = 12 47
954 = 0.00025024 (b) P(P ) = P(P |U ) P(U ) + P(P |C) P(C) = p 47
942 47
954 + (1 − q) 12 47
954 1 (c) P(C|P ) = P(P |C) P(C) P(P |C) P(C) + P(P |U )…