12072018 MMIS

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Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Corso di Studi in Ingegneria Matematica Appello di Modelli e Metodi dell’Inferenza Statistica 12 Luglio 2018 c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito. Nome e cognome: Numero di matricola: Esercizio 1: Esercizio 1. Sia X1,...,X n un campione casuale da una distribuzione con legge: f(x;θ) = 2 θ2 e ( −x2 θ ) x3I(0,+∞)(x), doveθ ` e un parametro positivo incognito,θ> 0. (a) Determinare una statisitca T statistica sufficiente, minimale e completa per θ. (b) Ricavare e riconoscere la legge di T . (c) Calcolare l’informazione di Fisher del modello oggetto di studio. (d) Costruire uno stimatore non distorto W per θ che raggiunga il limite di Cramer-Rao. (f) Determinare la legge asintotica di W e costruire l’intervallo di confidenza asintotico di livello 1 −α per θ di lunghezza minima. 1 Esercizio 2 Sia X1,...,X n un campione casuale da una distribuzione con legge: f(x;θ) = θ3 2 e3xe−θex doveθ ` e un parametro positivo incognito,θ> 0 (a) Determinare una statistica T sufficiente, minimale e completa per θ. (b) Stabilire se T ha rapporto di Likelihood monotono. (c) Costruire un test UMP di livello α per H0: θ ≤θ0 vs H1: θ>θ 0. (d) Costruire una quantit` a pivotQ per θ. (e) Costruire un intervallo di confidenza di livello 1 −α basato su Q. 2 Esercizio 3 Il dottor Paganini vuole lanciare una campagna di prevenzione della fibrillazione atriale incentivando i giovani a praticare sport. Al fine di rendere pi` u efficace questa iniziativa decide di eseguire un analisi preliminare sull’incidenza della fibrillazione atriale in una coorte di uomini che praticano sport a vari livelli. Le variabili che il dottor Paganini prende in considerazione per lo studio sono le…