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Probabilit a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 5/9/2012. Cognome: Nome: Matricola: Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar a perseguito. 1. Sia X una variabile aleatoria assolutamente continua con distribuzione di Pareto, cio e avente densit a fa;b(x) = b ab xb+1 I[a;+1)(x); a > 0; b > 0: (a) Veri care la normalizzazione di fa;b per ogni a > 0 e b > 0 e disegnarne un gra co qualitativo. (b) Calcolare la funzione di sopravvivenza P (X > t ), t 2 R. Dedurre poi la funzione di ripartizione Fa;b e disegnarne un gra co qualitativo. (c) Determinare il quantile q di ordine 0 < < 1. (d) Fissato un intero k  1, determinare per quali a e b si ha X 2 Lk e determinare quindi il momento k-esimo E[X k]. (e) Studiare il limite in distribuzione di X per  a ! 0 a b ssato,  a ! +1 a b ssato,  b ! 0 ad a ssato,  b ! +1 ad a ssato, (f) Fissato a > 0, b > 0 e c 2 R, determinare la distribuzione di X condizionata a X > c . [Si pu o ragionare ad esempio sulla funzione di sopravvivenza condizionata P (X > t jX > c ) o sulla funzione di ripartizione condizionata P (X  tjX > c ).] 1 Soluzione. (a) ∫ +1 1 fa;b(x) dx = b ab ∫ +1 a 1 xb+1 dx = ab [ 1 xb ] +1 a = 1 per ogni a > 0 e b > 0. (b) Per t  a, P (X > t ) = ∫ 1 t fa;b(x) dx = b ab ∫ 1 t 1 xb+1 dx = ( a t ) b , mentre P (X > t ) = 1 per t < a . Pertanto Fa;b(t) = P (X  t) = 1 P (X > t ) = ( 1 ( a t ) b) I(a;+1)(t): (c) Fa;b(q ) = ( ) q = a (1 )1=b . (d) E[X k] = ∫ +1 a xk b ab xb+1 dx = ∫ +1 a b ab xb k+1 dx < 1 ( ) b > k . Quindi X 2 Lk per ogni a > 0 e b > k . In tal caso E[X k] = b ak b k ∫ +1 a (b k) ab k xb k+1 dx = b ak b k (e)  Per a ! 0 a b ssato, Fa;b(t) ! I(0;+1)(t) per cui X ! 0,  Per a ! +1 a b ssato, Fa;b(t) ! 0 per cui X non ammette…