12febbraio2016

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Analisi Matematica II - 12 febbraio 2016 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Domanda 1 . Sia fn : (a,b )→ R una successione di funzioni continue. Definire la convergenza di fn a f in senso uniforme e dimostrare che se la convergenza ` e uniforme, alloraf ` e continua. Domanda 2 Sia X un insieme e sia d : X×X→ [0, +∞). Quali propriet` a deve soddisfare d per essere una distanza? Cosa significa che una successione {xn}⊂ X ` e di Cauchy? Domanda 3 Sia f : Rn→ Rn, sia y′ = f(y) un sistema di n equazioni differenziali autonome e sia E : Rn→ R una funzione differenziabile. Definire la derivata di E lungo le traiettorie, spiegandone il significato. Analisi Matematica II - 12 febbraio 2016 Cognome: Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto ` e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1 . Calcolare i coefficienti di Fourier {an},{bn} di f : [−π,π ]→ R definita da f(x) = {x x ≥ 0 0 x< 0. Determinare l’insieme A⊂ [−π,π ] dove la serie a0 2 + +∞∑ n=1 an cos(nx) +bn sin(nx) converge puntualmente e calcolarne la somma. La serie converge anche uniformemente in A? Esercizio 2 . 1. Sia Ma =   0 a 0 0 0 0 0 0 −3   . Determinare al variare del parametro a∈ R la stabilit` a nell’origine del sistema: y′ =May. 2. Trovare l’integrale generale del sistema nei casi a = 0 e a = 1. 3. Sia f : R3→ R3 definita da f(y1,y 2,y 3) = (y2 1, 0, 0). Determinare la stabilit` a nell’origine del sistema: y′ =M0y +f(y). Esercizio 3 . Sia U(x) come nel grafico: e si consideri l’equazione x′′ =−U ′(x). Si determini l’esistenza o meno di punti stazionari, orbite periodiche, omocline, eterocline o di altro tipo. Si tracci il grafico approssimativo di…