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Probabilit a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d’esame del 27/6/2013. Cognome: Nome: Matricola: Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar a perseguito. 1. Date due variabili aleatorie Z1 e Z2 normali standard ed indipendenti, si consideri il vettore aleatorio ( X, Y ) = ( Z1, Z1Z2). (a) Calcolare media e varianza del vettore ( X, Y ). (b) Mostrare che risulta E[X 2Y 2] = 3. (c) Le variabili X ed Y sono indipendenti? (d) Il vettore ( X, Y ) ` e gaussiano? (e) Calcolare la probabilit` a P(X > Y ). (f) Sapendo che E [ exp{iuZ1 + ivZ1Z2} Z2 ] = exp { − (u+vZ2)2 2 } per ogni u e v reali, calcolare φ(X;Y ), la funzione caratteristica del vettore ( X, Y ). Soluzione. (a) E[(X, Y )] = ( E[Z1], E[Z1Z2]) = ( E[Z1], E[Z1]E[Z2]) = (0 , 0), mentre Var(X) = 1 , Var(Y ) = E[Y 2] = E[Z2 1 Z2 2 ] = E[Z2 1 ]E[Z2 2 ] = 1 , Cov(X, Y ) = E[XY ] = E[Z2 1 ]E[Z2] = 0 , Var[(X, Y )] = ( 1 0 0 1 ) . (b) E[X 2Y 2] = E[Z4 1 ]E[Z2 2 ] = 3 dato che E[Z4 1 ] = 3. (c) Le variabili X ed Y NON sono indipendenti, dato che E[X 2Y 2] = 3 ̸= E[X 2]E[Y 2] = 1. (d) Il vettore ( X, Y ) NON ` e gaussiano, dato che le variabili sono scorrelate, ma dipendenti. (e) P(X > Y ) = P(Z1 > Z 1Z2) = P(Z1 > 0, Z2 < 1) + P(Z1 < 0, Z2 > 1) = P(Z1 > 0)P(Z2 < 1) + P(Z1 < 0)P(Z2 > 1) = 1 2 P(Z2 < 1) + 1 2 P(Z2 > 1) = 1 2 . (f) φ(X;Y )(u, v) = E [ exp{iuX + ivY } ] = E [ E [ exp{iuZ1 + ivZ1Z2} Z2 ]] = E [ exp { − (u + vZ2)2 2 }] = 1√ 2π ∫ exp { − (u + vt)2 2 − t2 2 } dt = 1√ 2π ∫ exp    − 1 2   ( t + uv 1+v2 ) 2 1/(1 + v2) + u2 1 + v2      dt = exp { − 1 2 u2 1+v2 } √ 1 + v2 . 1 2. Viene fatta una scelta a caso, con uguale probabilit` a, tra una moneta rossa e una blu. La moneta rossa ` e equilibrata, mentre in quella blu la probabilit` a di…