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Probabilit a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d’esame del 23/9/2013. Cognome: Nome: Matricola: Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar a perseguito. 1. Sia X una variabile aleatoria che pu` o prendere i valori interi k  1 e che soddisfa P (X  k) = 1 k , k  1, dove α > 0 ` e un parametro reale. (a) Calcolare la funzione di massa di probabilit` a di X. (b) Calcolare la funzione di ripartizione di X, disegnandone un grafico qualitativo. (c) Per α = 1, calcolare il valore atteso di X. Si supponga da ora in poi α = 1. Sia Y un’altra variabile aleatoria, indipendente da X ma con la stessa legge. (d) Calcolare la funzione di massa di probabilit` a di M = min(X, Y ). (e) Calcolare la funzione di massa di probabilit` a del vettore ( X, X + Y ). Soluzione. (a) Per k  1, P (X = k) = P (X  k) P (X  k + 1) = 1 k 1 (k + 1) . (b) Si ha F (t) = P (X  t) = 0 per t < 1. Per ogni intero k  1 e per k  t < k + 1 si ha F (t) = P (X  t) = P (X  k) = 1 P (X  k + 1) = 1 1 (k + 1) . (c) E X = 1∑ k=1 k ( 1 k 1 k + 1 ) = 1∑ k=1 1 k + 1 = +1. (d) Per k  1, P (M = k) = P (X < Y, X = k) + P (X > Y, Y = k) + P (X = Y, X = k) = P (k < Y, X = k) + P (X > k, Y = k) + P (X = k, Y = k) = P (Y > k )P (X = k) + P (X > k )P (Y = k) + P (X = k)P (Y = k) = 2 1 k + 1 ( 1 k 1 k + 1 ) + ( 1 k 1 k + 1 ) 2 = 2k + 1 k2(k + 1)2 . 1 (e) Per j > k  1, P (X = k, X + Y = j) = P (X = k, Y = j k) = P (X = k)P (Y = j k) = ( 1 k 1 k + 1 ) ( 1 j k 1 j k + 1 ) = 1 k(k + 1)(j k)(j k + 1) . 2 2. Sia Z = ( Z1 Z2 ) un vettore aleatorio gaussiano con media nulla e varianza Q = ( 2 1 1 1 ) . Sia inoltre X =   X1 X2 X3   definito dalle uguaglianze X1 = Z2 1 X2 = Z1 2Z2 X3 = 3Z1. (a) Calcolare gli eventuali valori del parametro reale a per cui aZ1…