14 7 2015

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Politecnico di Milano — Meccanica Razionale — Prova del 14.7.2015 In un piano verticale, il sistema di figura ` e costituito da due aste ide ntiche OA e CB , omogenee di lunghezza ℓ e massa m, incernierate in O, C alla stessa quota e distanza L, e da una terza asta AB, omogenea di lunghezza L e massa M . Sulla cerniera B ` e applicata una forza orizzontale costante F 0, orientata come in figura. Sia θ l’angolo che l’asta OA determina con l’orizzontale. Statica • Determinare la configurazione di equilibrio del sistema. Dinamica • Esprimere le velocit` a angolari delle tre aste in funzione di ˙θ. • Determinare (al variare della posizione) il valore MC del momento della coppia da applicare all’asta BC affinch´ e questa ruoti con velocit` a angolare costante, pari a ω 0. • Calcolare, durante il moto proposto, le reazione vincolari esterne agenti sulle cerniere O, C. O A B C ℓ, m ℓ, m L, M L (solo din) MC F 0 Domanda di teoria. Energia cinetica: definizione e caso del corpo rigido piano. Soluzione Osserviamo preliminarmente che il quadrilatero OABC ha i lati opposti a due a due uguali, ed ` e quindi un parallelogramma. In particolare, il lato AB risulter` a quindi parallelo al lato OC, ovvero orizzontale. Statica. Determiniamo la configurazione di equilibrio del sistema utilizzando il Pr incipio dei Lavori Virtuali. Si ottiene δL(a) = ( F0ℓsin θ − (m + M )gℓ cos θ ) δθ = 0 ∀θ =⇒ θeq = arctan (m + M )g F0 . Dinamica. Le velocit` a angolari delle aste valgono ω(OA) = ω(BC ) = ˙θ k, ω(AB) = 0. Determiniamo il momento della coppia richiesta utilizzando il Teorema de ll’energia cinetica. Si ottiene T = ( 1 3 m + 1 2 M ) ℓ2 ˙θ2 ⇒ ˙T = 0 Π = ( F0ℓsin θ − (m + M )gℓ cos θ + MC ) ˙θ da cui segue MC (θ) = ( m + M )gℓ cos θ − F0ℓsin θ. Ricaviamo le reazioni vincolari ΦO = HO i + VO j, ΦC =…