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Probabilit a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 19/2/2014. Cognome: Nome: Matricola: Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar a perseguito. 1. Sia X = ( X1 X2 ) un vettore aleatorio gaussiano con media nulla e varianza Q = ( 2 2 λ 2λ λ ) (a) Trovare i valori ammissibili del parametro reale λ. (b) Calcolare la legge condizionata di X2 dato X1 = x. (c) Trovare i valori di λ per cui la varianza di tale legge  e massima. Trovare poi i valori per cui  e minima, interpretando il risultato. Sia ora Y =   Y1 Y2 Y3   il vettore aleatorio de nito da Y1 = X1 X2 + 1, Y 2 = 2X2, Y 3 = X1 2. (d) Trovare la legge di Y . (e) Dire se esistono dei valori di λ per cui Y1 e Y3 sono indipendenti. (f) Scrivere la funzione caratteristica del vettore ( Y1 Y3 ) nel caso λ = 1/3. Soluzione. (a) Occorre che la matrice simmetrica Q sia semide nita positiva: si impone 2 λ 4λ2  0 e si ricava 0  λ  1/2. (b) E' una legge gaussiana N ( ^m, ^σ2) dove, secondo le note formule, ^ m = λx, ^σ2 = λ 2λ2. (c) ^σ2  e massima perλ = 1/4, e minima per λ = 0 e per λ = 1/2. Per λ = 0 si ha X2 = 0 quasi certamente, mentre per λ = 1/2 risulta X2 = X1/2 quasi certamente. (d) Poich eY = AX + b con A =   1 1 0 2 1 0   , b =   1 0 2   , risulta che Y ha legge gaussiana di media b e varianza AQAT =   2 3λ 2λ 2 2λ 2λ 4λ 4λ 2 2λ 4λ 2   . 1 (e) Essendo le variabili congiuntamente gaussiane l'indipendenza equivale alla condizione di incorrelazione: 2 2λ = 0, che non pu o essere veri cata dato che 0  λ  1/2. (f) Per λ = 1/3 il vettore ( Y1 Y3 ) ha media e varianza ( 1 −2 ) e ( 1 4 /3 4/3 2 ) , da cui ϕ(u, v) = exp ( iu 2iv 1 2 (u2 + 8 3 uv + 2v2) ) . 2 2. Si consideri la seguente famiglia di funzioni dipendenti dal…