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Probabilit a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d’esame del 5/5/2014. Cognome: Nome: Matricola: Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar a perseguito. 1. Berto, Maso e Guglielmo trovano una pentola magica, piena di monete d’oro, in una grotta degli Eren Brulli. Decidono di spartirsi il tesoro estraendo una moneta alla volta, che viene di volta in volta assegnata a uno dei tre, in modo indipendente e con equiprobabilit` a. 1. Supponendo che la pentola contenga n monete d’oro, calcolare la probabilit` a che: (a) Berto rimanga senza monete d’oro, (b) Berto e Maso rimangano entrambi senza monete d’oro, (c) almeno uno dei tre rimanga senza monete d’oro. 2. Sapendo che le monete nella pentola sono n ≥ 10, calcolare la probabilit` a che: (a) Berto riceva le prime 10 monete d’oro e poi basta, (b) Berto riceva esattamente 10 monete d’oro. 3. La pentola, che ` e magica, contiene in realt` a infinite monete d’oro, per cui Berto, Maso e Guglielmo continueranno a spartirsi monete senza interruzione. Del resto si trovano in una grotta. Calcolare quindi la probabilit` a che: (a) Berto rimanga senza monete d’oro, (b) Berto riceva le prime 10 monete d’oro e poi basta, (c) Berto riceva esattamente 10 monete d’oro, (d) Berto riceva almeno 10 monete d’oro. Soluzione. Definiamo gli eventi: • Bk = Berto riceve la k-esima moneta d’oro, • Mk = Maso riceve la k-esima moneta d’oro, • Gk = Guglielmo riceve la k-esima moneta d’oro, per cui Bk, Mk e Gk sono una partizione dello spazio campionario Ω per ogni k, tutti di probabilit` a 1/3, mentre eventi relativi a k differenti sono tutti indipendenti. 1. (a) P(Bc 1; : : : ; Bc n) = n∏ k=1 P(Bc k) = n∏ k=1 2 3 = ( 2 3 ) n , (b) P(Bc 1; M c 1 ; : : : ; Bc n; M c n) = n∏ k=1 P(Bc k; M c…