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Probabilit a. Ingegneria Matematica - Prof. Marco Fuhrman - tema d'esame del 16/9/2014. Cognome: Nome: Matricola: Firma: I diritti d'autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar a perseguito. 1. Alberto usa le lenti a contatto, ma  e parecchio maldestro e, quando al mattino cerca di mettersele, spesso nell'operazione ne perde una, se non entrambe. Detto quindi X il numero di lenti a contatto perse al mattino da Alberto, sappiamo che per un qualche valore del parametro p il numero casuale X ha distribuzione fX (k) = P(X = k) =    p; se k = 0; 1 − p − p2; se k = 1; p2; se k = 2: 1. Stabilire i possibili valori del parametro p. Occupiamoci ora di quel che pu o capitare in due giorni, considerando indipendenti, e distri- buiti entrambi come X, i totali X1 e X2 di lenti perse alla prima e alla seconda mattina. Quando Alberto perde (almeno) una lente, esce in ritardo nel vano tentativo di cercarla. Siano • Y = numero di lenti a contatto perse da Alberto in due giorni, • Z = numero di mattine su due giorni in cui Alberto  e in ritardo. Trovare: 2. la distribuzione di Y , 3. la distribuzione di Z, Calcolare in ne le seguenti probabilit a, sempre relative a quel che pu o capitare in due giorni: 4. che Alberto abbia perso 4 lenti, sapendo che ogni mattina  e uscito in ritardo, 5. che ogni mattina Alberto sia uscito in ritardo, sapendo che ne ha perse 4, 6. che Alberto abbia perso 1 lente, sapendo che  e uscito in ritardo almeno una volta, 7. che Alberto abbia perso 4 lenti, sapendo che  e uscito in ritardo la prima mattina. 1 Soluzione. 1.    0 ≤ p ≤ 1 0 ≤ 1 − p − p2 ≤ 1 0 ≤ p2 ≤ 1 =⇒ 0 ≤ p ≤ √ 5 − 1 2 . 2. X1 e X2 hanno distribuzione congiunta X2\X1 0 1 2 0 p2 p(1 − p − p2) p3 1 p(1 − p − p2) (1 − p − p2)2 p2(1 − p − p2) 2 p3 p2(1…