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Analisi Matematica 2 - Ingegneria Fisica 14 luglio 09 Cognome: Nome: Firma: c⃝ I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sar` a perseguito a termini di legge dal titolare del diritto. 1. Data la funzione f (x,y ) = x log y − cos (πxy ) (1.1) Calcolare lo sviluppo di Taylor di f (x,y ) al secondo ordine in (1 , 1) (1.2) Calcolare il piano tangente al grafico di f (x,y ) in (1 , 1). (1.3) Determinare se in un intorno di (1 , 1) il piano tangente ` e interamente sotto o sopra al grafico. 1 2. Sia dato il sistema { ˙x = 2x 2ye x 2 ˙y = − 2xy 2e x 2 (1 + x 2 ). (2.1) Trovarne i punti si equilibrio. (2.2) Disegnare alcune traiettorie del sistema. (2.3) Dalle traiettorie dedurre la natura dei punti critici. (2.4) Trovare un integrale primo. 2